Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

1.2. EUKLIDS ALGORITME 5
Bevis. 1. r n er en divisor i a og b: Det bevises ved at trævle formlerne (1.24) -
(1.27) op bagfra: Fra (1.28) ses at r n | r n−1 . Men fra (1.26) ses at hvis r n går op
i både r i+1 og r i (altså i to på hinanden følgende rester i algoritmen) så vil r n
også gå op i den foregående rest r i−1 (her bruges øvelse 7). Så da r n går op i r n
og i r n−1 så går den op i r n−2 og derfor i r n−3 osv. Til slut kan vi konkludere
at r n går op i r 1 = b og i r 0 = a.
2. r n er den største fælles divisor: Dette vises ved at trævle formlerne (1.24)
- (1.28) op forfra: Vi antager at d er en fælles divisor i r 1 = b og r 0 = a. Fra
(1.24) ses at d går op i r 2 (overvej), så fra (1.25) kan vi nu slutte at d går op i
r 3 osv. Til slut kan vi konkludere at d går op i r n . Enhver fælles divisor i a og
b vil altså gå op i r n hvorfor denne må være den største fælles divisor for a og
b.
Eksempel 21 Find den største fælles divisor i 375 og 885. Vi anvender Euklids
algoritme:
Altså er (375, 885) = 15.
885 = 2 · 375 + 135 (1.29)
375 = 2 · 135 + 105 (1.30)
135 = 1 · 105 + 30 (1.31)
105 = 3 · 30 + 15 (1.32)
30 = 2 · 15 (1.33)
Den næste ret bemærkelsesværdige sætning er kendt som Bézouts Lemma.
Sætning 22 Hvis d er den største fælles divisor i de hele tal a og b (som ikke
begge er nul), da findes hele tal x og y, så d kan skrives på formen
d = xa + yb. (1.34)
Bevis. Hvis fx. a = 0 vil (a, b) = b og i så fald er sætningen oplagt. Ligeså hvis
b = 0.
Hvis vi har vist sætningen for naturlige tal følger opskrivningen (1.34) for
alle hele a og b. Man skriver bare d = x |a| + y |b| hvorfra (1.34) fås ved evt at
skifte fortegn på x eller y.
Vi skal altså bare vise sætningen for naturlige a og b. Her kan vi finde
opskrivningen (1.34) ved at trævle Euklids algoritme op bagfra. Vi vil mere
generelt vise at når r i−1 og r i er to på hinanden følgende rester i Euklids algoritme
kan man finde hele tal x i−1 og y i så
d = x i−1 r i−1 + y i r i . (1.35)
For i = 1 giver denne opskrivning det ønskede (1.34) da r 0 = a og r 1 = b.
Den næstsidste division i Euklid’s algoritme ((1.26) for i = n − 1) giver
r n−2 = q n−1 r n−1 + r n (1.36)