Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

10.1. NOTATION OG PRODUKT 133
Her skal man være opmærksom på rækkefølgen: τ ◦σ betyder den afbildning som
fremkommer, når man først anvender σ og dernæst τ. altså τ ◦ σ(a) = τ(σ(a))
Ofte bruger man multiplikativ skrivemåde, så man i stedet for τ ◦ σ skriver
τ · σ eller blot τσ.
Eksempel 389 Lad σ være den permutation af X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, som
blev defineret i eksempel 385. Lad endvidere τ være den permutation af X, som
i tabelnotation kan skrives
( )
1 2 3 4 5 6 7 8
τ =
(10.12)
4 5 8 7 6 3 1 2
Vi ønsker at bestemme τ · σ. Først bestemmes hvad 1 afbildes i: Ved σ afbildes
det i 5, som afbildes videre i 6 ved τ. Ligeså ses at 2 → 7 → 1, osv. På figur
10.1 ses, hvordan man kan bestemme produktet. Det er vigtigt at man husker
at starte fra permutationen til højre.
Figur 10.1: Multiplikation af permutationer.
Da permutationer er bijektive afbildninger, kan man tale om identitetspermutationen
1 A og om den inverse permutation σ −1 til en permutation σ. Den
inverse til en permutation skrives i tabelnotation ved at bytte om på de to
rækker (overvej)
Eksempel 390 På X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kan identitetspermutationen skrives
( )
1 2 3 4 5 6 7 8
1 X =
, (10.13)
1 2 3 4 5 6 7 8
og den inverse til permutationen σ i Eksempel 385 kan skrives
( )
σ −1 5 7 3 6 8 2 4 1
=
, (10.14)
1 2 3 4 5 6 7 8
som ved ombytning af søjlerne kan skrives
( )
σ −1 1 2 3 4 5 6 7 8
=
8 6 3 7 1 4 2 5
eller i direkte notation: (8, 6, 3, 7, 1, 4, 2, 5).
(10.15)