Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

150 KAPITEL 11. GRAFER
punkter og kanterne ved streger, men det er kun en illustration. Knuderne og
kanterne kan være alt muligt, og det gør grafer til et fleksibelt redskab til at
analysere situationer, hvor nogle objekter er relateret til hinanden på en eller
anden måde. For eksempel kan knuderne være byer og kanterne flyforbindelser
mellem disse byer, eller knuderne kan være mennesker og kanterne kan være
telefonsamtaler mellem dem på en bestemt dag, eller knuderne kan være lande
og kanterne være landegrænser, således at to lande er forbundet af en kant, hvis
de grænser op til hinanden.
Eksempel 431 I 1737 udgav Leonhard Euler (1707-1783) en artikel, hvori han
analyserede, om det ville være muligt at lave en procession i Königsberg, hvor
man gik over hver af byens 7 broer præcist én gang. Denne artikel regnes for
det første bidrag til grafteorien. Königsberg og dens broer kan ses på figur 11.2.
Situationen kan repræsenteres ved grafen ved siden af, hvor knuderne er de fire
landområder og kanterne er broerne, som forbinder landområderne.
Figur 11.2: Broerne i Königsberg.
Definition 432 Her følger en række definitioner:
1. Løkke: En kant, som har to ens endepunkter, kaldes en løkke.
2. Multiple kanter: Hvis to knuder forbindes af mere end en kant, siges
disse kanter at være multiple kanter.
3. Naboknuder: To knuder kaldes naboknuder, hvis de er forbundet af en
kant.
4. Valens: En knudes valens er lig med antallet af kanter, som har endepunkt
i knuden (hvor løkker tæller dobbelt). Summen af valenserne af
alle grafens knuder kaldes grafens totale valens.
5. Isoleret knude: En knude med valens 0, dvs. en knude, som ikke er
endepunkt for nogen kanter, kaldes en isoleret knude.