Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

180 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
79), så hvis vi kan finde en mængde af rationale tal, som i R har supremum √ 2,
har vi en god kandidat. En sådan mængde er B = { x ∈ Q | x < √ 2 } . Nu er det
pænere at undlade at involvere de reelle tal i en diskussion af de rationale tals
egenskaber. Derfor vil vi helst angive mængden uden at involvere √ 2. Det kan
vi gøre ved i stedet at se på mængden A = { x ∈ Q | x 2 < 2 } . Denne mængde
er ikke lig med B, idet den ikke indeholder tallene mindre end − √ 2, men dens
supremumsegenskab er er naturligvis de samme. Efter denne analyse, kan vi gå
over til det syntetiske bevis.
Beviset. Betragt mængden
A = { x ∈ Q | x 2 < 2 } . (12.14)
Den er en delmængde af Q, og da 0 ∈ A er den ikke tom. Da 2 er en majorant
(overvej), er mængden endvidere opadtil begrænset. Vi vil bevise at A ikke har
et supremum i Q. Beviset føres ved modstrid.
Antag altså, at b ∈ Q er supremum for A. Da 1 ∈ A og 2 er en majorant
for A, gælder det, at 1 ≤ b ≤ 2. Da Q er totalt ordnet, gælder et af følgende
udsagn: b 2 < 2, 2 < b 2 , b 2 = 2. Vi vil udelukke de to første muligheder.
1. Antag først at b 2 < 2. Vi vil vise, at dette er i modstrid med antagelsen
om at b er en majorant for A. Det gør vi ved at finde et tal i A, som er
større end b. 1 Da vi har antaget at b 2 < 2, vil d = 2−b2
5
være et positivt
rationalt tal. Tallet c = b + d er derfor et rationalt tal større end b. Men
c ligger i A, thi, da b > 1 er d < 2−1
5
= 1 5
< 1, og da endvidere 1 ≤ b ≤ 2,
kan vi slutte som følger:
c 2 = (b + d) 2 = b 2 + 2bd + d 2 < b 2 + 2 · 2d + 1d (12.15)
( ) 2 − b
= b 2 + 5d = b 2 2
+ 5 = b 2 + 2 − b 2 = 2. (12.16)
5
Vi har altså fundet et element c af A, som er større end b. Dette strider
mod at b er en majorant for A. Vi kan altså udelukke at b 2 < 2.
2. Antag dernæst at 2 < b 2 . Vi vil vise at det er i modstrid med, at b er
den mindste majorant for A. Det gør vi ved at finde en majorant for A,
som er mindre end b. 2 Da vi har antaget at 2 < b 2 , vil d = b2 −2
4
være et
positivt rationalt tal. Tallet c = b − d er derfor et rationalt tal mindre end
b. Vi vil vise at c er en majorant for A. Da b ≤ 2 gælder nemlig at
c 2 = (b − d) 2 = b 2 − 2bd + d 2 > b 2 − 2bd (12.17)
( b
≥ b 2 − 2 · 2d = b 2 2 )
− 2
− 4 = 2. (12.18)
4
1 Her skal vi altså finde en kandidat. I det følgende trækkes denne op af hatten. Prøv selv
at lave den analyse, som fører frem til kandidaten.
2 Prøv selv at lave analysen.