Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

16.1. ORDNEDE LEGEMER 227
Dernæst viser vi, at ϕ(L + ) ⊇ M + . Lad altså y ∈ M + . Da ϕ er bijektiv,
eksisterer et x ∈ L, hvorom det gælder, at ϕ(x) = y. Da y ∈ M + , følger af
(16.26), at
ϕ(0) = 0 < y = ϕ(x), (16.40)
hvorfra vi ved brug af (16.38) kan slutte, at 0 < x, altså at x ∈ L + . Men det
betyder at y = ϕ(x) ∈ ϕ(L + ).
• Antag dernæst at ϕ(L + ) = M + , og lad x, y ∈ L. Da gælder
x < y ⇔ (y − x) ∈ L + ⇔ ϕ (y − x) ∈ M + (16.41)
⇔ ϕ (y + (−x)) ∈ M + ⇔ (ϕ(y) + ϕ (−x)) ∈ M + (16.42)
⇔ (ϕ(y) − ϕ (x)) ∈ M + ⇔ ϕ(x) < ϕ (y) . (16.43)
Afbildningen ϕ er altså en ordningsisomorfi.
Eksempel 717 R og Q er begge eksempler på ordnede legemer, hvis R + og Q +
tillægges den sædvanlige mening. Som vi så i Eksempel 669 er disse legemer ikke
isomorfe som legemer. De er derfor heller ikke isomorfe som ordnede legemer.
Derimod er C og de endelige legemer (f.eks. Zp) ikke ordnede legemer.
Bevis. Vi vil vise at C ikke er et ordnet legeme. Det gøres ved modstrid: Hvis
C var et ordnet legeme ville i ifølge 704 enten tilhøre C + eller C − eller være lig
med 0. Sidstnævnte mulighed er forkert, og da i · i = −1 ∈ C − strider de to
første muligheder mod aksiom O1 og 706(2). Altså er C ikke et ordnet legeme.
Nedenfor vil vi se at ethvert ordnet legeme er uendeligt. Dermed er det klart
at endelige legemer ikke er ordnede legemer.
Vi vil nu vise at ethvert ordnet legeme (L, +, ·) indeholder kopier af N, Z,
og Q i den forstand at der findes delmængder af L, som udstyret med kompositionsreglerne
og ordningen på L er isomorfe 2 med N, Z, og Q. Dette medfører
specielt at ethvert ordnet legeme er uendeligt.
Lidt løst sagt er ideen den at vi først konstruerer en mængde i L som er
isomorf med N. Det gør vi ved at se på mængden N bestående af elementerne:1 L ,
1 L + 1 L , 1 L + 1 L + 1 L , ... Her har vi brugt betegnelsen 1 L for det multiplikative
neutrale element i L for at skelne det fra det naturlige tal 1. Vi viser at alle disse
elementer er forskellige. Den afbildning φ, som afbilder n ∈ N over i elementet
(1 L + 1 L + 1 L , ... + 1 L ) (hvor der er n addender) kan nu vises at være en isomorfi
mellem N og N.
Mængden Z ⊆ L af differenser mellem elementer i N er da isomorf med Z,
og mængden Q ⊆ L af kvotienter mellem elementer i Z er isomorf med Q.
Ved konstruktionen af mængden N vil vi gå lidt mere formelt til værks, idet
vi vil bruge vores viden om rekursion og induktion.
2 Q er isomorf med et dellegeme af L. N er ikke et legeme, men det er isomorft med en
delmængde N af L i den forstand at der findes en ordensisomorfi φ : N −→ N, som også
opfylder (14.57) og (14.58). Det samme gælder Z.