Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

58 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE
Sætning 119 Der er præcist én mængde uden nogen elementer.
Bevis. Lad A og B være to mængder uden elementer. Vi skal da vise at A = B.
Ifølge Definition 118 skal vi altså vise at
x ∈ A ⇔ x ∈ B. (6.2)
Men dette udsagn er sandt, da både x ∈ A og x ∈ B er falsk for alle x (jvf.
Definition 120).
Bemærk at dette bevis følger den strategi for entydighedsbeviser, som blev
beskrevet i forbindelse med formel (3.38).
Definition 120 Den entydige mængde uden elementer kaldes den tomme mængde
og betegnes med ∅.
Bemærkning 121 Der er forskel på ∅ og {∅}. Mængden ∅ er den tomme
mængde, og har ingen elementer. Mængden {∅} er derimod mængden af den
tomme mængde. Den har ét element, nemlig ∅.
Øvelse 122 Hvilke elementer har mængderne: {∅, {∅}} og {∅, {∅}, {∅, {∅}}}?
Når man opgiver en mængde ved at angive alle dens elementer i en tuborgparamtes,
siger man at mængden er givet på elementform. Denne form kan
strengt taget kun bruges til at angive endelige mængder, og i praksis kun
mængder med få elementer; men man bruger den også nogle gange til at betegne
mængder med uendeligt mange elementer. For eksempel kan man skrive mængden
af lige tal på formen {2, 4, 6, ...}, medens {2, 4, 6, ...100} betegner de lige tal
mindre eller lig 100. Det er klart at denne måde at betegne mængder kun kan
bruges, når der ikke kan opstå tvivl om hvad ”...” står for.
Notation 123 Følgende notation bruges om forskellige talmængder:
N betegner mængden af de naturlige tal altså mængden {1, 2, 3, ...}.
Z betegner mængden af de hele tal altså mængden {...−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Q betegner mængden af rationale tal altså mængden af brøker a b
hvor a, b ∈ Z
og b ≠ 0.
R betegner mængden af reelle tal.
C betegner mængden af komplekse tal
Z + , Q + , R + betegner henholdsvist de positive hele tal, de positive rationale
tal og de positive reelle tal.
Z −, Q −, R − betegner henholdsvist de negative hele tal, de negative rationale
tal og de negative reelle tal
Sandhedsmængder. Hvis p(x) er et prædikat om elementerne i en mængde
M, kan man betragte mængden bestående af de af M’s elementer, som gør
prædikatet sandt. Denne mængde kaldes p’s sandhedsmængde og betegnes symbolsk
ved
{x ∈ M | p(x)}. (6.3)
Man siger ”mængden af de x i M for hvilke p(x)”.