Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

9.6. BINOMIALKOEFFICIENTERNE 123
Men igen giver et kombinatorisk argument nok mere indsigt i sagen:
( n
r)
angiver
antal delmængder på r elementer udtaget af en mængde A på n elementer.
Dette antal kan vi også finde på en anden måde. Lad nemlig a 1 være et bestemt
element i A (dette findes da n > 2). Nu kan vi inddele delmængderne (med r
elementer) af A i to disjunkte klasser: Klasse 1 bestående af de delmængder,
som indeholder a 1 , og( klasse)
2 bestående af de delmængder, som ikke indeholder
n − 1
a 1 . I klasse 1 er der mængder, thi for at fastlægge en sådan mængde
r − 1
skal vi udvælge delmængdens resterende ( r ) − 1 elementer blandt A’s resterende
n − 1
n − 1 elementer. I klasse 2 er der mængder, thi for at fastlægge en
r
sådan mængde skal vi udvælge delmængdens r elementer blandt ( A’s ) resterende ( )
n − 1 n − 1
elementer. Ifølge den additive tællemetode er der altså +
r r − 1
delmængder på r elementer udtaget af A’s n elementer.
Pascals trekant: For at få overblik over binomialkoefficienterne er det
nyttigt at opstille dem i et trekantet skema kaldet Pascals trekant 1 . De første 7
rækker i trekanten ser således ud:
( 0
( 1
) 0)
( 1
( 0 2
) ( 2
) 1)
( 2
( 0
1
3
) ( 3
) ( 3
) 2)
( 3
( 0
1
2
4
) ( 4
) ( 4
) ( 4
) 3)
(
(9.35)
4
( 0
1
2
3
5
) ( 5
) ( 5
) ( 5
) ( 5
) 4)
( 5
( 0
1
2
3
4
6
) ( 6
) ( 6
) ( 6
) ( 6
) ( 6
) 5)
( 6
0
1
2
3
4
5
6)
Sætning 368 siger så at en binomialkofficient er lig med summen af de to
binomialkoefficienter, som står skråt over den (til højre og til venstre) i Pascals
trekant. Denne observation tillader en at udregne binomialkoefficienterne i Pascals
trekant ( rekursivt( række for række ud fra de 1’taller, som står i de yderste
n n
diagonaler ( og ). De første 7 rækker i trekanten bliver:
0)
n)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(9.36)
Øvelse 369 Fortsæt selv Pascals trekant nogle rækker længere ned.
1 Efter Blaise Pascal (1623-1662), som studerede den grundigt i et værk udgivet 1665.
Trekanten havde dog været opstillet tidligere.