Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

70 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE
Sætning 175 De Morgans love 2 . Lad X være en mængde og lad {B α } α∈Λ
være en familie af delmængder af X. Da gælder:
X \ ( ⋃ B α ) = ⋂ (X \ B α ) (6.60)
og
α∈Λ
α∈Λ
X \ ⋂ B α = ⋃ (X \ B α ) (6.61)
α∈Λ
Bevis. Vi beviser kun (6.61). Beviset for (6.60) er analogt.
For vilkårligt x har vi følgende biimplikationer:
x ∈ X \ ⋂ B α (6.62)
α∈Λ
α∈Λ
⇔ (x ∈ X) ∧ (¬(x ∈ ⋂ B α )) (6.63)
α∈Λ
⇔ (x ∈ X) ∧ (¬(∀α ∈ Λ : x ∈ B α )) (6.64)
⇔ (x ∈ X) ∧ (∃α ∈ Λ : ¬(x ∈ B α )) (6.65)
⇔ ∃α ∈ Λ : (x ∈ X) ∧ (¬(x ∈ B α )) (6.66)
⇔ ∃α ∈ Λ : (x ∈ X \ B α ) (6.67)
⇔ x ∈ ⋃ (X \ B α ) (6.68)
α∈Λ
Heraf følger (6.61)
Hvis vi specielt lader X være grundmængden U, så kan De Morgans love
skrives på formen:
Sætning 176 Lad {B α } α∈Λ
være en familie af delmængder af grundmængden
U. Da gælder:
∁( ⋃ B α ) = ⋂ (∁B α ) (6.69)
og
α∈Λ
α∈Λ
∁( ⋂ B α ) = ⋃ (∁B α ) (6.70)
α∈Λ
Specielt hvis familien består af to delmængder, kan De Morgans love formuleres
som følger:
α∈Λ
Sætning 177 Lad X, A og B være mængder. Da gælder:
X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B) (6.71)
og
X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B) (6.72)
Øvelse 178 Tegn et Venn-diagram, der illustrerer disse specialtilfælde af De
Morgans love.
2 Efter Augustus de Morgan 1806-1871