Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

230 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AKSIOMER FOR R
16.2 Fuldstændigt ordnede legemer. De reelle
tal
De reelle tal spiller en fremtrædende rolle i matematikken. I skolen vænner man
sig gradvist til at arbejde med dem, og man kommer til at betragte deres egenskaber
som velkendte og naturlige. I dette kursus har vi da også ofte benyttet
os af reelle tal som eksempel-materiale. Men hvad er egentligt de reelle tal helt
præcist?
Et svar herpå kunne være at opstille et aksiomssystem for de reelle tal. Det
vil vi gøre nu.
Det er klart at valget af aksiomerne skal foretages så den resulterende matematiske
struktur får de egenskaber vi plejer at tillægge de reelle tal. Det er også
klart at der skal være så mange aksiomer at de tilsammen fastlægger de reelle
tal entydigt op til isomorfi. Ellers kunne vi jo have mange forskellige udgaver
af de reelle tal, og det er ikke ønskeligt.
Vi ønsker at kunne regne på sædvanlig vis med reelle tal. denne egenskab
indfanges af legemsaksiomerne L1 - L 5. Men som vi så ovenfor er der mange
forskellige legemer. Nogle er endog endelige. Legemsaksiomerne er derfor i
sig selv ikke nok til at karakterisere de reelle tal entydigt. Vi tilføjer derfor
ordningsaksiomerne O1 og O2 som også indfanger egenskaber vi ønsker de reelle
tal skal have. Derved indskrænkes feltet. De endelige legemer udelukkes og det
gør de komplekse tal også. Men selv aksiomssystemet for et ordnet legeme
fastlægger ikke strukturen entydigt. Der er flere ikke-isomorfe ordnede legemer,
for eksempel Q og R.
Sagt med andre ord: aksiomerne for et ordnet legeme er ikke tilstrækkelige til
at kunne udlede nogle af de sætninger, vi ønsker skal gælde om de reelle tal. For
eksempel kan vi ikke vise, at ethvert positivt element i et ordnet legeme har en
kvadratrod. Denne sætning gælder jo ikke i det ordnede legeme Q (se Sætning
79). Man kunne så vælge at tilføje et aksiom der siger at ethvert positivt element
har en kvadratrod, men det ville vise sig at det ikke er nok. Der vil stadig være
flere ikke isomorfe ordnede legemer med kvadratrod, og ikke alle vil opfylde alle
de egenskaber vi ønsker af de reelle tal. Den egenskab, som viser sig at være
den rigtige til at fastlægge de reelle tal entydigt, er den i analysen så vigtige
supremumsegenskab. Denne vil vi nu tilføje til listen af aksiomer:
Definition 731 Et ordnet legeme kaldes et fuldstændigt ordnet legeme,
hvis det har supremumsegenskaben, altså hvis enhver ikke tom opadtil begrænset
delmængde har et supremum.
Bemærkning 732 Et fuldstændigt ordnet legeme er altså en struktur (L, +, ·)
som opfylder aksiomerne L1 - L5 i definition 659 og O1 - O2 i definition 702
og hvori enhver ikke tom opadtil begrænset delmængde har et supremum.
Sætning 733 Alle fuldstændige ordnede legemer er isomorfe.
Vi skal ikke bevise denne sætning. Den tillader os at definere de reelle tal: