Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

182 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Sætning 556 En partielt ordnet mængde har supremumsegenskaben, hvis og
kun hvis den har infimumsegenskaben.
Bevis. Lad (M, ≤) være en partielt ordnet mængde. Vi vil vise, at hvis den
har supremumsegenskaben, da har den også infimumsegenskaben. Det bevises
helt analogt, at hvis (M, ≤) har infimumsegenskaben, da har den også supremumsegenskaben.
Antag altså at (M, ≤) har supremumsegenskaben. Vi vil da vise, at den
har infimumsegenskaben. Lad derfor A være en ikke tom nedadtil begrænset
delmængde af M. Vi skal vise at A har et infimum. Lad N A betegne mængden
af minoranter for A altså:
N A = {x ∈ M | x er en minorant for A} . (12.19)
Ideen i beviset er nu at vise, at N A er ikke tom og opadtil begrænset, hvorfor
den iflg supremumsegenskaben har et supremum. Dette supremum vil vi så vise
er et infimum for A.
Da A er antaget at være nedadtil begrænset, har A en minorant, så N A
er ikke tom. Da endvidere A er antaget at være ikke tom, kan vi vælge et
a ∈ A. Hvis x ∈ N A er x en minorant for A, hvorfor x ≤ a. Det betyder at a
er en majorant for N A . Altså er N A ikke tom og opadtil begrænset, og da vi
har antaget at (M, ≤) har supremumsegenskaben, har N A et supremum. Sæt
s = sup N A . Vi vil vise, at s er infimum af A.
Først vises, at s er en minorant for A: Lad derfor a være et vilkårligt element
i A. Vi så ovenfor, at a er en majorant for N A . Da nu s er den mindste majorant
for N A , må den være mindre eller lig med a: s ≤ a. Da dette gælder for alle
a ∈ A er s en minorant for A.
Dernæst vises, at s er den største minorant for A: Antag nemlig at z er en
anden minorant for A. Da er pr. definition z ∈ N A . Da s = sup N A , og s
således specielt er en majorant for N A , vil z ≤ s. Altså er s en største minorant
for A, hvorfor s = inf A.
Vi konkluderer derfor at (M, ≤) har infimumsegenskaben.
Øvelse 557 Gennemfør den udeladte halvdel af ovenstående bevis, altså beviset
for at hvis (M, ≤) har infimumsegenskaben, da har den også supremumsegenskaben.
Prøv at lære det ovenstående bevis så godt, at du kan gennemføre den
manglende del med lukket bog. Det lærer du mere af end hvis du ”oversætter”
ovenstående bevis ord for ord med åben bog.
12.3 Opgaver
1. Bevis at relationen n | m er en partiel ordning på N. Er det en total ordning?
2. Nedenfor angives en række delmængder af R med den sædvanlige ordning.
Afgør i hvert tilfælde om
• mængden er opadtil begrænset, nedadtil begrænset og begrænset,