Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

Kapitel 12
Ordningsrelationer
12.1 Partiel og total ordning
Det er normalt at bruge betegnelsen ≤ (læses ”mindre eller lig (med)) for en
ordningsrelation, også når der er tale om andre ordningsrelationer end den velkendte
ordning på de reelle tal. Vi skal følge denne konvention i dette afsnit.
Definition 497 En relation ≤ på en mængde M kaldes en (partiel) ordningsrelation
(eller en (partiel) ordning), hvis den er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv,
d.v.s hvis den opfylder følgende tre betingelser:
1. Refleksivitet: For alle a ∈ M gælder det at a ≤ a
2. Antisymmetri: For alle a, b ∈ M gælder det at (a ≤ b) ∧ (b ≤ a) ⇒ a = b.
3. Transitivitet: For alle a, b, c ∈ M gælder at (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) ⇒ a ≤ c
En mængde forsynet med en ordning kaldes en ordnet mængde. Den ordnede
mængde M forsynet med ordningen ≤ betegnes (M, ≤).
Øvelse 498 Bevis følgende simple sætning: Lad (M, ≤) være en partielt ordnet
mængde og A ⊆ M. Da definerer ≤ også en partiel ordning på A.
Eksempel 499 1. Den almindelig kendte ordning ≤ af de reelle tal er en
ordningsrelation.
2. Relationen ⊆ er en ordningsrelation på potensmængden P (M) af en given
mængde M.
3. ”Være efterkommer af” er en ordningsrelation på mængden af mennesker,
hvis man siger at en person er efterkommer efter sig selv.
4. Relationen = på en mængde M er en ordningsrelation. Den derved ordnede
mængde (M, =) kaldes den totalt uordnede mængde.
171