Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

7.3. ÆKVIVALENSRELATIONER 83
Eksempel 226 I eksempel 199 er 2.,5. og 8. de eneste ækvivalensrelationer.
Øvelse 227 Hvilke af nedenstående relationer er ækvivalensrelationer:
1. Relationen på R defineret ved: x · y ≥ 0
2. Relationen ≠ defineret på R.
3. Relationen på mængden af rette linjer i planen defineret ved l ∼ m, hvis
(l er parallel med m eller l = m).
4. Relationen ”l står vinkelret på m” defineret på mængden af rette linjer i
planen.
5. Relationen på mængden af rette linjer i planen defineret ved l ∼ m, hvis l
og m har et fælles punkt.
6. Relationen på mængden af orienterede linjestykker AB (pile fra A til B) i
planen defineret ved AB ∼ CD hvis AB og CD er ensrettede og lige lange.
Bemærkning 228 Den orienterede graf hørende til en ækvivalensrelation på
en endelig mængde har løkker ved alle knuder, alle kanterne er kantpar, og når
den indeholder en kant fra a til b og en kant fra b videre til c, da har den også en
kant fra a til c. Denne orienterede graf giver et unødvendigt kompliceret billede
af relationen. Hvis det udtrykkeligt er klart at en relation er en ækvivalensrelation,
kan man jo udelade løkkerne og slå kanterne sammen, så relationen
repræsenteres ved en graf. Det er det vi i et senere kapitel vil kalde en simpel
graf. Desuden kan man vælge at udelade en række kanter. Hvis der er en kant
fra a til b og en kant fra b videre til c, da ved vi jo at kanten fra a til c også
tilhører grafen. Men så kan vi jo udelade den. Hvis vi på denne måde udelader
alle de unødvendige kanter, får vi det, der kaldes den udspændende skov. Den
er karakteriseret ved at der i denne graf er en rute fra a til b, hvis og kun hvis
a ∼ b. Vi vender tilbage til disse grafteoretiske begreber i næste kapitel.
Øvelse 229 Vis at hvis R er en ækvivalensrelation på A da gælder for alle
n ∈ N: aR n b ⇔ aRb. Du kan bevise ⇒ ved induktion efter n.
En ækvivalensrelation på en mængde deler mængden op i delmængder bestående
af elementer, som er indbyrdes ækvivalente. For eksempel deler ækvivalensrelationen
2. i eksempel 199 mennesker op i delmængder bestående af personer
med samme efternavn. Ækvivalensrelationen ”samme køn som” på mængden af
mennesker deler menneskeheden op i kvinder og mænd. Ækvivalensrelationen
”går på hold med” deler mængden af DIS-studerende op i hold. Lad os gøre
denne ide mere præcis:
Definition 230 Lad ∼ være en ækvivalensrelation på mængden A. Hvis a ∈ A,
betegner [a] mængden af de elementer i A, som er ækvivalente med a, med andre
ord
[a] = {x ∈ A | x ∼ a} . (7.5)