Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

164 KAPITEL 11. GRAFER
Korollar 484 Et træ med mere end én knude har to knuder med valens 1.
Bevis. I lemmaet ovenfor viste vi, at der findes en knude med valens 1. Hvis
vi vælger at begynde algoritmen i beviset for lemmaet med denne knude (v 1 ),
så føres vi til endnu en knude med valens 1. Der er altså to sådanne knuder.
Lemma 485 Hvis T er et træ, og v er en knude heri med valens 1, så er den
graf, der fremkommer ved at fjerne v og den ene kant, der ender i v, også et
træ.
Lad T være et træ og v en knude i T . Lad endvidere w være et element,
der ikke er en knude i T . Hvis vi danner en ny graf T 1 ved at tilføje w til T ′ s
knudemængde, og tilføje kanten e med endepunkter v og w til T ’s kantmængde,
så er T 1 et træ
Bevis. Bevis overlades til læseren.
Nu er vi klar til
Bevis. af sætning 482. Vi vil vise 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1. Vi antager altså at G er en
graf med n knuder
1 ⇒ 2 : Antag at G er sammenhængende og kredsløs. Vi skal bevise at G
har n − 1 kanter. Beviset føres ved induktion efter antallet n af knuder.
Induktionsstart: Hvis grafen har 1 knude, er enhver kant en løkke; men
løkker er kredse, og dem er der ingen af. Der må altså være 0 = 1 − 1 kanter.
Altså er påstanden korrekt når n = 1.
Induktionsskridtet: Antag at ethvert træ med n knuder har n−1 kanter. Lad
så G være et træ med n + 1 knuder og m kanter. Vi skal vise at (n + 1) − 1 = m
altså at n = m Ifølge lemma 483 findes der i G en knude med valens 1. Fjernes
denne knude og den kant, der forbinder den med resten af G fra G, vil den
resterende graf ifølge lemma 485 være et træ. Og det har n knuder og m − 1
kanter. ifølge induktionsantagelsen er derfor m − 1 = (n − 1), hvoraf m = n.
Ifølge princittet om simpel induktion gælder sætningen altså for alle n ∈ N.
2 ⇒ 3. Antag at G er sammenhængende og har n − 1 kanter. Vi skal bevise
at G er kredsløs. Det indses ved modstrid. Antag altså, at der er en ikketriviel
kreds i G. Fjernes en af kredsens kanter fra G, er den resterende graf
sammenhængende ifølge lemma 460. Hvis der stadig er en ikke triviel kreds i
denne graf, fjernes en af dens kanter, osv. indtil vi når til en sammenhængende
graf uden kredse. Det er et træ med samme knuder som G, og ifølge det netop
viste har det n − 1 kanter. Men det er umuligt, for vi antog at der var n − 1
kanter i G, og træet er fremkommet ved at fjerne nogle kanter fra G.
3 ⇒ 1. Antag endelig at G er kredsløs og har n − 1 kanter. Vi skal vise at G
er sammenhængende. Antag at G har k sammenhængskomponenter. Vi skal da
vise at k = 1. Hver sammenhængskomponent er sammenhængende og kredsløs,
altså et træ. Hvis antallet af knuder i den ite sammenhængskomponent kaldes
n i , så har den altså iflg. det allerede viste n i − 1 kanter. Men så er antallet af
kanter i hele G altså lig med
k∑
(n i − 1) =
i=1
k∑
n i − k = n − k. (11.5)
i=1