Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

6.7. POTENSMÆNGDEN 73
6.7 Potensmængden
Som vi allerede har bemærket, kan mængder selv være elementer i andre mængder.
En familie af mængder {B α } α∈Λ
er et eksempel på en mængde af mængder. Man
betragter ofte en mængde af delmængder af en given mængde. Mængden der
består af alle delmængderne af en given mængde kaldes dens potensmængde.
Definition 192 Lad A være en mængde. Mængden af alle A’s delmængder
kaldes A ’s potensmængde og betegnes med P (A).
Eksempel 193 Betragt mængden {1, 2, 3}. Den har følgende delmængder: ∅,
{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Altså er
P ({1, 2, 3}) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}} (6.93)
Eksempel 194 P (∅) = {∅}
Sætning 195 Hvis A og B er mængder og A ⊆ B da er P (A) ⊆ P (B).
Bevis. Antag at A ⊆ B, og antag at X ∈ P (A). Vi skal da vise, at X ∈ P (B).
Udsagnet X ∈ P (A) betyder pr. definition, at X ⊆ A. Da endvidere A ⊆ B,
ved vi fra Sætning 135, at X ⊆ B, hvorfor X ∈ P (B).
Sætning 196 Lad A og B være mængder. Da gælder:
P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B) (6.94)
og
P (A ∪ B) ⊇ P (A) ∪ P (B) (6.95)
Bevis. Overlades til læseren.
Øvelse 197 Vis ved et modeksempel at inklusionen P (A ∪ B) ⊆ P (A) ∪ P (B)
ikke er sand generelt. Overvej hvad A og B skal opfylde for at P (A ∪ B) ⊆
P (A) ∪ P (B).
Bemærkning 198 De to udsagn A ⊆ B og A ∈ P (B) er ækvivalente. Udsagnet
A ⊆ B er dog begrebsmæsigt simplere og bør derfor normalt foretrækkes frem
for A ∈ P (B). Man bør generelt formulere sig på den simplest mulige måde. Af
samme grund vil det ofte være lettere forståeligt, hvis man skriver ”en familie
af delmængder af A” i stedet for ”en delmængde af P (A)”.
6.8 Russels paradoks
Et paradoks er i daglig tale en selvmodsigende situation. Man siger, at der
er et paradoks (eller en indre modstrid) i en matematisk teori, hvis man kan
udlede en sætning p og også kan udlede dens negation ¬p. En sådan situation
kan man ikke acceptere i matematikken. For ikke alene betyder det, at vi ikke