Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

208 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER
14.2 Legemer
Definition 659 En kommutativ ring (forskellig fra nul-ringen), hvori alle elementer
forskellige fra 0 er invertible, kaldes et legeme.
Med andre ord:
En mængde L med to kompositionsregler + (kaldet addition) og · (kaldet
multiplikation) kaldes et legeme og betegnes (L, +, ·), hvis følgende aksiomer er
opfyldt:
L1: + og · er kommutative, dvs. for alle x, y ∈ L gælder:
x + y = y + x og x · y = y · x. (14.34)
L2: + og · er associative, dvs. for alle x, y, z ∈ L gælder:
(x + y) + z = x + (y + z) og (x · y) · z = x · (y · z) . (14.35)
L3: Der eksisterer et additivt og et multiplikativt neutralt element kaldet hhv.
0 og 1, d.v.s der eksisterer to elementer 0 ≠ 1 i L så for alle x ∈ L gælder:
x + 0 = x og x · 1 = x. (14.36)
L4: Der eksisterer additive og multiplikative inverser, eller mere præcist:
For ethvert x ∈ L findes et element vi vil kalde −x i L, hvorom det gælder, at
x + (−x) = 0, (14.37)
og for ethvert x ∈ L \ {0} findes et element vi vil kalde x −1 i L, hvorom det
gælder, at
x · x −1 = 1 (14.38)
L5: Den distributive lov: For alle x, y, z ∈ L gælder, at
x · (y + z) = (x · y) + (x · z) . (14.39)
Sætning 660 Hvis (L, +, ·) er et legeme, er (L, +) og(L \ {0} , ·) abelske grupper.
Bevis. Det overlades til læseren at checke at alle aksiomerne for abelske grupper
er opfyldt.
Bemærkning 661 Alle de sætninger vi har udledt om (abelske) grupper, ringe
og integritetsområder beholder deres gyldighed for legemer. Her skal fremhæves
de vigtigste.
Sætning 662 Lad (L, +, ·) være et legeme med neutralelementer 0 og 1. Lad
x, y ∈ L.
Da er de neutrale elementer entydigt bestemt, og de inverse elementer til x
er entydigt bestemt (for multiplikation forudsat at x ≠ 0).
Desuden gælder:
−(−x) = x og ( x −1) −1
= x (14.40)