Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

178 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Hvis b er supremum for A skriver man: b = sup A.
Øvelse 539 Betragt M = {{1} , {2} , {1, 3}} i P {1, 2, 3} med ordningen ⊆.
Afgør om M har et supremum, og bestem det hvis det eksisterer.
Hvis mængden er totalt ordnet, kan det være praktisk at omformulere det
andet krav i definitionen af supremum.
Sætning 540 Lad A være en delmængde af en totalt ordnet mængde (M, ≤).
Da er b = sup A, hvis og kun hvis
1. b er en majorant for A, altså: ∀a ∈ A : a ≤ b.
2. ∀x < b∃a ∈ A : x < a.
Bevis. Da formuleringen af punkt 1 er det samme som i definitionen af supremum,
skal vi bare vise at punkt 2 i definitionen og i sætningen er ækvivalente
under forudsætning af at b er en majorant for A:
b er den mindste majorant for A (12.7)
⇔ (x er en majorant for A ⇒ b ≤ x) (12.8)
⇔ (x er en majorant for A ⇒ ¬ (x < b)) (12.9)
⇔ ((x < b) ⇒ x ikke en majorant for A) (12.10)
⇔ ∀x < b∃a ∈ A : x < a. (12.11)
Den anden omskrivning benytter at M er totalt ordnet.
Den tredie omskrivning er kontraposition.
For at indse den sidste omskrivning, bemærker vi at udsagnet: ”x er en
majorant for A” jo betyder: ∀a ∈ A : a ≤ x, så ved negering ses at udsagnet ”x
er ikke majorant for A” betyder: ∃a ∈ A : x < a.
Eksempel 541 Intervallet ]1, 2[ har supremum 2.
Bevis. Vi vil bevise at 2 opfylder de to krav i sætning 540, altså 1. at 2 er en
majorant for ]1, 2[, og 2. at hvis x < 2, da findes et a ∈]1, 2[ så x < a.
Bevis for 1. Ifølge definitionen af ]1, 2[, gælder at et vilkårligt a ∈]1, 2[
opfylder a < 2 og desto mere a ≤ 2. Altså er 2 en majorant for ]1, 2[.
Bevis for 2. Antag at x < 2. Betragt tallet y = x+2
2
midt mellem x og 2. Da
x < 2 gælder det at
y = x + 2 < 2 + 2 = 2. (12.12)
2 2
Hvis 1 < y, vælges a = y. Hvis y ≤ 1, vælges a = 3/2. I begge tilfælde gælder
at a ∈]1, 2[ (overvej dette), og
x = x + x
2
< x + 2
2
Vi har altså fundet et element a i ]1, 2[, som opfylder x < a.
= y ≤ a. (12.13)