Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

11.2. EULER-TURE OG HAMILTON-KREDSE 159
1 ⇒ 2: Lad G ′ være den graf, der fremkommer ved at fjerne e. Vi antager
altså at G ′ er sammenhængende. Der findes derfor en vej i G ′ mellem v og w.
Tilføjes nu e til denne vej fås en kreds i G.
2 ⇒ 3: Klart da en kreds specielt er en lukket tur.
3 ⇒ 1: Antag at e er en kant i en lukket tur T i G. Vi skal vise at G ′ er
sammenhængende. Først bemærker vi, at når vi fjerner e fra T , fås en tur T´
i G ′ fra v til w. Lad nu u 1 og u 2 være to knuder i G ′ . Vi skal da vise, at der
går en vej i G ′ mellem dem. Da G er sammenhængende, går der en vej W :
u 1 = v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 ...v n−1 e n v n = u 2 i G mellem u 1 og u 2 . Hvis kanten e ikke indgår
i vejen, er det en vej i G ′ , og vi er færdige. Hvis derimod e indgår i denne vej i
kombinationen vew, så erstatter vi e med T ′ , som jo er en tur fra v til w. Hvis
derimod v og w kommer i omvendt rækkefølge i W (altså wev), så erstatter vi
e med T ′ gennemløbet i omvendt rækkefølge. I begge tilfælde fremkommer der
en rute mellem v og w. Men ifølge sætning 442 findes der så en vej mellem v og
w. Altså er G ′ sammenhængende.
Algoritme 461 Fleurys algoritme. Mere formel forklaring: Lad G være
en sammenhængende graf hvori enhver knude har lige valens. Da vil følgende
algoritme frembringe en lukket Euler-tur i G.
1. Vælg en vilkårlig knude v i G. Sæt T = v.
2. Hvis der ikke er flere kanter fra v stoppes.
3. Hvis der er præcist én resterende kant e fra v for eksempel til w, så slet
knuden v og kanten e fra grafen G. Gå til trin 5.
4. Hvis der er mere end én resterende kant fra v vælges én, som ikke er en
bro, for eksempel e fra v til w. Slet e fra G.
5. Tilføj ew til enden af T , erstat w med v og gå til trin 2.
Bevis. Vi skal vise at algoritmen ikke bryder sammen og at den frembringer
det den skal.
1. Algoritmen bryder ikke sammen: Det eneste sted det kan gå galt er i
punkt 4. Vi skal vise at hvis vi er nået til punkt 4 i algoritmen, til en knude vi
kan kalde v ′ , så er der i den del af grafen, som ikke er blevet slettet, mindst én
kant til v ′ , som ikke er en bro. Lad G ′ betegne den del af grafen, som er tilbage,
når vi er nået til dette trin. G ′ er sammenhængende, thi G er sammenhængende
og i hvert af de foregående trin har vi enten (trin 3) fjernet en kant og en derved
isoleret knude, eller (trin 4) en kant, som ikke er en bro. Ved begge disse
processer forbliver grafen sammenhængende. Der er så to muligheder: Enten er
v ′ = v 0 , hvor v 0 er den knude vi begyndte algoritmen i, eller også er v ′ ≠ v 0 .
Hvis v ′ ≠ v 0 , er der netop to knuder i G ′ , som har ulige valens, nemlig v ′
og v 0 (overvej), så ifølge sætning 455 er der en åben Euler-tur i G ′ fra v ′ til v 0 .
Da vi er i punkt 4 i algoritmen, og altså er kommet forbi punkt 2 i algoritmen,
er der mere end én kant i G ′ fra v ′ . Alle kanterne indgår i den åbne Euler-tur.
Derfor må denne indeholde knuden v ′ mere end én gang. Den del af Euler-turen,