Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

52 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER
Vi bemærker at operationen addition (+) indføres på en måde så at S(n) =
n + 1 for alle n ∈ N.
Intuitivt siger de første tre aksiomer, at man kan starte med 1 og successivt
danne nye naturlige tal ved at tage efterfølgeren (altså lægge en til). Induktionsaksiomet
siger, at alle naturlige tal kan nås på denne måde. Hvor de første
aksiomer kan opfattes som generatorer af naturlige tal, er induktionsaksiomet
et aksiom, der sikrer, at der ikke er flere naturlige tal, end de tal som genereres
ved hjælp at de første tre aksiomer.
Intuitivt er det klart, at det netop er induktionsaksiomet, som får induktionsbeviser
til at virke. Når vi ved at p(1) og p(n) ⇒ p(n + 1), kan vi jo successivt
slutte at p er sand for alle de successive efterfølgere af 1, og induktionsaksiomet
siger at der ikke er andre naturlige tal end disse.
Lad os formalisere denne idé:
Bevis. (Sætning 104 om Simpel induktion): Lad p(n) være et prædikat, hvor
den frie variabel kan løbe over de naturlige tal. Antag endvidere at p(1) er sand
og at p(m) ⇒ p(m + 1). Vi skal da vise at p(n) er sand for alle n ∈ N.
Betragt sandhedsmængden for p altså
A = {n ∈ N | p(n) er sand} . (5.24)
Da p(1) er sand gælder, at 1 ∈ A.
Da p(m) ⇒ p(m + 1), gælder det at m ∈ A ⇒ S(m) ∈ A.
Mængden A opfylder altså forudsætningerne i induktionsaksiomet, hvorfor
vi af aksiomet kan slutte at A = N. Men det betyder at p(n) er sand for alle
n ∈ N.
Dermed har vi vist princippet om simpel induktion.
For at se at induktionsaksiomet er nødvendigt for at kunne bruge princippet
om simpel induktion, kan vi betragte følgende eksempel:
Eksempel 114 Lad
A =
{x ∈ R | x = 1 − 1 }
n for et n ∈ N
(5.25)
og
B =
{x ∈ R | x = 2 − 1 }
n for et n ∈ N
(5.26)
og definer C = A ∪ B. Definer efterfølgerfunktionen S : C −→ C ved
S(1 − 1 n ) = 1 − 1
n + 1 , (5.27)
S(2 − 1 n ) = 2 − 1
n + 1
(5.28)
for alle n ∈ N. Da opfylder C med denne efterfølgerfunktion de tre første
aksiomer i Peanos aksiomssystem men ikke induktionsaksiomet. Der gælder jo
at A ⊆ C og 0 ∈ A og x ∈ A ⇒ S(x) ∈ A, men A ≠ C.