Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

64 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE
Figur 6.3: Foreningsmængden A ∪ B
Bevis. Følger af de tilsvarende logiske regler for ” ∨ ” .
På grund af (6.27) giver det ikke anledning til misforståelser at skrive A ∪
B ∪ C og tilsvarende for flere mængder.
Sætning 148 Lad A og B være mængder. Da gælder:
A ∪ A = A, A ∪ B ⊇ A, og A ∪ ∅ = A (6.28)
Man kan endog danne foreningsmængde og fællesmængde af en hel (eventuelt
uendelig) familie af mængder.
6.3.1 Familier af mængder.
Eksempel 149 Betragt intervallerne I 1 = [0, 1] , I 2 = [ 0, 1 2]
, I3 = [ 0, 1 3]
, ...,
I n = [ 0, 1 n]
,.... De udgør en familie af delmængder af R. De er indiceret ved
de naturlige tal, i den forstand, at der til hvert naturligt tal svarer netop et af
intervallerne (til n svarer I n ).
Eksempel 150 Betragt enhedscirklerne i planen med centrum i et punkt på x-
aksen. Lad C t betegne den enhedscirkel, hvis centrum har koordinaterne (t, 0).
Da udgør alle C t ’erne en familie af cirkler indiceret ved det reelle index t.
Definition 151 Mere generelt, hvis Λ er en mængde (af indices), og der til
ethvert index α ∈ Λ svarer en mængde A α , da siger vi at A α ’erne udgør en
familie af mængder, der er indiceret ved Λ. Familien betegnes ved {A α } α∈Λ
.
Definition 152 Lad {A α } α∈Λ
være en familie af mængder. Fællesmængden
for alle familiens mængder (”fællesmængden for A α ’erne for α i Λ”) betegnes