Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

122 KAPITEL 9. TÆLLEMETODER. KOMBINATORIK
Denne sprogbrug skyldes, at størrelserne optræder som koefficienter, når
man udregner den n’te potens af en toleddet størrelse (et binomium):
Sætning 365 Binomialformlen. Lad x og y være reelle eller komplekse tal
og n et ikke-negativt helt tal. Da gælder
(x + y) n (9.30)
( ( ( )
n n n
= x n + x
1)
n−1 y + x
2)
n−2 y 2 + · · · + xy n−1 + y n (9.31)
n − 1
n∑
( n
= x
r)
n−r y r . (9.32)
r=0
Bevis. Formlen indses let når n = 0. Antag derfor at n ≥ 1.
For at udregne (x + y) n skal man gange (x + y) med sig selv n gange:
(x + y)(x + y) · · · (x + y) (n faktorer). Når disse parenteser ganges ud, fås 2 n led
af formen x n−r y r . Samles nu alle led med samme værdi af r, fås n led af formen
kx n−r y r , et for hvert r. Koefficienten k foran x n−r y r i denne sum angiver, hvor
mange led ud af de oprindelige 2 n led, som havde formen x n−r y r for denne værdi
af r. Hvor mange er det? Ja, hvert led af formen x n−r y r fremkommer ved at
multiplicere y’er fra r af parenteserne ( og x’er fra resten af parenteserne. ( Men
n n
vi kan vælge de r parenteser på måder, så koefficienten må være .
r)
r)
Sætning 366 For alle hele tal n, r hvor n ≥ r ≥ 0 gælder
( ( )
n n
=
r)
n − r
( n
Bevis. Identiteten følger direkte af formlen =
r)
n!
r!(n−r)! .
(9.33)
Et mere intuitivt argument forløber således: Når vi udtager r elementer af en
mængde med n elementer, har vi også implicit udtaget en delmængde på n − r
elementer, nemlig komplementærmængden, altså de ikke udtagne elementer.
Antallet af måder, vi kan udtage r elementer af en mængde på n elementer, er
derfor lig med antallet af måder, vi kan udtage n − r elementer.
Bemærkning 367 Det sidste bevis forløber ved at tælle den samme mængde på
to forskellige måder. Et sådant argument kaldes et kombinatorisk argument.
Sætning 368 For alle hele tal n, r hvor n > r > 0 gælder rekursionsformlen
( ( ) ( )
n n − 1 n − 1
= +
(9.34)
r)
r r − 1
( n
Bevis. Beviset kan naturligvis føres ved at bruge formlen =
r)
n!
r!(n−r)! . (gør
dette!).