Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

12.2. MAXIMALT OG STØRSTE ELEMENT. SUPREMUM 181
Så hvis x > c vil x 2 > c 2 > 2 (her bruges at c ≥ 0). hvorfor x /∈ A.
Kontraposition af dette udsagn giver at x ∈ A ⇒ x ≤ c, som netop
betyder at c er en majorant for A. Vi har altså fundet en majorant c, som
er mindre end b, i modstrid med at b var antaget at være et supremum
for A. Vi har altså udelukket at 2 < b 2 .
Da vi hverken har b 2 < 2 eller 2 < b 2 må det altså gælde at b 2 = 2. Men det
strider mod Sætning 79.
Vi har dermed bevist at mængden A ikke har et supremum i Q, hvorfor Q
ikke har supremumsegenskaben.
Helt analogt til supremum, defineres infimum:
Definition 551 Lad A være en delmængde af en partielt ordnet mængde (M, ≤).
Et element b i M kaldes infimum for A, hvis det er den største minorant for
A, d.v.s opfylder følgende to kriterier:
1. b er en minorant for A, altså: ∀a ∈ A : b ≤ a.
2. b er den største minorant for A, altså: Hvis x er en minorant for A, da
er x ≤ b.
Hvis b er infimum for A, skriver man b = inf A
Sætning 552 Lad A være en delmængde af en totalt ordnet mængde (M, ≤).
Da er b = inf A hvis og kun hvis
1. b er en minorant for A, altså: ∀a ∈ A : b ≤ a.
2. ∀x > b∃a ∈ A : a < x.
Bevis. Overlades til læseren.
Sætning 553 Lad A være en delmængde af en partielt ordnet mængde (M, ≤).
Hvis A har et mindste element a, da vil a også være infimum for A.
Bevis. Bevis overlades til læseren.
Øvelse 554 Afgør om følgende mængder har et infimum i R, og bestem infimum,
hvis det findes:
1. ]1, 2[.
2. [1, 2].
3. ] − ∞, 0[.
4. { 1
n | n ∈ N}
Definition 555 En partielt ordnet mængde siges at have infimumsegenskaben,
hvis enhver ikke tom nedadtil begrænset delmængde har et infimum.