Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

9.2. TÆLLEMETODER 113
Øvelse 331 I biblioteksdatabasen på et (lille) matematikbibliotek er de 90 bøger
opført under emnebetegnelserne algebra, geometri og analyse. Hver bog har
mindst en af disse emnebetegnelser, men nogle af dem har to eller alle tre
emnebetegnelser. Databasen tillader én at søge på en eller to af disse emnebetegnelser.
Det viser sig at der er 55 bøger med emnebetegnelsen algebra, 30
med emnebetegnelsen geometri og 45 med emnebetegnelsen analyse. Endvidere
er der 15 bøger, som både har emnebetegnelsen algebra og geometri, 15 der både
har emnebetegnelsen analyse og geometri og 20 der både har emnebetegnelsen
analyse og algebra. Hvor mange bøger har alle tre emnebetegnelser?
Sætning 332 Lad A og B være to endelige mængder. Da gælder
|A × B| = |A| |B| . (9.10)
Bevis. Hvis A eller B er tom er sætningen triviel (overvej). Vi antager derfor
at A, B ≠ ∅. Da A og B er endelige mængder findes der to naturlige tal m = |A|
og n = |B| , og to bijektive afbildninger f : A −→ {1, 2, ..., m} og g : B −→
{1, 2, ..., n}. For at vise sætningen skal vi bestemme en bijektiv afbildning h :
A × B −→ {1, 2, ..., mn}. Vi kan definere h ved følgende regel:
h((a, b)) = (g(b) − 1)m + f(a). (9.11)
Det ses let, at denne afbildning h afbilder A × B ind i {1, 2, ..., mn}. For at
bevise at h er bijektiv benytter vi sætningen om division med rest (sætning 17).
Ifølge denne sætning kan ethvert helt tal i på entydig måde skrives på formen
eller
i = q · m + r hvor q, r ∈ Z og 0 ≤ r < m. (9.12)
Sættes nu k = q + 1, j = i + 1, og l = r + 1 kan dette omskrives til
j − 1 = (k − 1) · m + (l − 1) hvor k, l ∈ Z og 1 ≤ l ≤ m, (9.13)
j = (k − 1) · m + l hvor k, l ∈ Z og 1 ≤ l ≤ m. (9.14)
For ethvert helt tal j findes altså entydigt bestemte hele tal k, l så (9.14) er
opfyldt.
Nu kan vi vise at afbildningen h er bijektiv fra A × B på {1, 2, ..., mn}. Lad
nemlig j være et tal i mængden {1, 2, ..., mn} . Ifølge det lige viste findes der
da præcist to hele tal k og l så (9.14) er opfyldt. Når j ∈ {1, 2, ..., mn} må
endvidere 1 ≤ k ≤ n, thi hvis k ≤ 0 er j = (k − 1) · m + l ≤ 0 når 1 ≤ l ≤ m og
hvis n + 1 ≤ k er mn + 1 ≤ (k − 1) · m + l når 1 ≤ l ≤ m. Til et j ∈ {1, 2, ..., mn}
findes altså entydigt bestemte hele tal k, l så
j = (k − 1) · m + l hvor 1 ≤ k ≤ n og 1 ≤ l ≤ m. (9.15)
Da nu f : A −→ {1, 2, ..., m} og g : B −→ {1, 2, ..., n} er bijektive, findes
entydigt bestemte elementer a ∈ A og b ∈ B så f(a) = l og g(b) = k. Men ifølge
definitionen af h betyder det netop at der findes et entydigt bestemt element
(a, b) i A × B så h((a, b)) = j. Det vil sige at h : A × B −→ {1, 2, ..., mn} er
bijektiv.