Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

5.3. INDUKTIONSAKSIOMET 51
Vi viser dette ved fuldstændig induktion efter n.
Induktionsstarten: Da 1 = 1 er p(1) sand.
Induktionsskridtet: Vi lader nu m ∈ N være vilkårlig, og antager at udsagnene
p(1), p(2), . . . , p(m) alle er sande. Vi skal da vise p(m + 1). Da
m + 1 > 1 skal vi vise, at m + 1 er et produkt af primtal. Vi splitter beviset
herfor op i to tilfælde:
1. m + 1 er et primtal: I så fald er m + 1 ifølge ovenstående konvention et
produkt af primtal, og vi er færdige.
2. m+1 er ikke et primtal: Da m+1 > 1, må m+1 i så fald være sammensat
(se Definition 11). Der findes altså a, b ∈ N så:
m + 1 = a · b, (5.23)
og så 1 < a, b < m + 1. Da a, b < m + 1, gælder a, b ≤ m, så udsagnene
p(a) og p(b) forekommer begge i listen p(1), p(2), . . . , p(m). På grund
af induktionsantagelsen ved vi altså at både p(a) og p(b) er sande. Idet
a > 1 og b > 1, betyder det, at såvel a og b er et produkt af primtal. Det
samme gælder da om m + 1 = a · b.
Altså er p(m + 1) sand.
Sætningen følger nu fra princippet om fuldstændig induktion.
5.3 Induktionsaksiomet
Vi har præsenteret induktionsprincipperne som oplagte følger af sund fornuft.
Formelt er de følger af aksiomerne for de naturlige tal. Disse kan formuleres
som følger:
Definition 113 Peano’s aksiomssystem for de naturlige tal 1
De naturlige tal er en mængde N udstyret med en efterfølgerfunktion S :
N −→ N, hvorom det gælder:
1. 1 ∈ N.
2. For ethvert n ∈ N : 1 ≠ S(n).
3. For ethvert m, n ∈ N : m ≠ n ⇒ S(m) ≠ S(n).
4. Induktionsaksiomet: Hvis det om en delmængde A ⊆ N gælder, at
1 ∈ A og m ∈ A ⇒ S(m) ∈ A, så gælder, at A = N.
Fra dette aksiomssystem kan man opbygge hele aritmetikken for naturlige
tal. Det vil vi dog ikke gøre i denne bog. Vi vil nøjes med at bevise, at
principperne om simpel og fuldstændig induktion er konsekvenser af aksiomerne,
specielt induktionsaksiomet.
1 Opkaldt efter den Italienske matematiker Giuseppe Peano (1858-1932)