Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

14.1. RINGE 207
Bevis. For alle x ∈ R gælder
0 · x = 0 ≠ 1. (14.25)
Bemærkning 654 I en ring kan man ikke altid slutte, at hvis et produkt er
lig nul, da er en af faktorerne lig nul (nul-reglen). For eksempel i Z/6 er
[2] · [3] = [2 · 3] = [6] = [0] , men [2] ≠ [0] og [3] ≠ [0].
Det betyder også, at man ikke kan ”forkorte” en fælles faktor væk på begge
sider af et lighedstegn, selv når denne faktor er forskellig fra 0. For eksempel
gælder der i Z/6, at
[2] · [3] = [2] · [0] , (14.26)
men vi kan ikke forkorte [2] væk på begge sider af lighedstegnet, for så ville vi
få [3] = [0], hvilket er forkert.
Definition 655 En kommutativ ring (som ikke er nulringen) kaldes et integritetsområde,
hvis nul-reglen gælder, altså hvis
x · y = 0 ⇒ (x = 0) ∨ (y = 0) . (14.27)
Eksempel 656 (Z, +, ·) er et integritetsområde.
Sætning 657 Lad R være et integritetsområde og x ∈ R, x ≠ 0. Da gælder
Bevis. Hvis x · y = x · z gælder
Da x ≠ 0 slutter vi fra nulreglen, at
x · y = x · z ⇒ y = z. (14.28)
0 = x · 0 = x · (y + (−y)) = x · y + x(−y) (14.29)
= x · z + x · (−y) = x(z + (−y)). (14.30)
z + (−y) = 0 (14.31)
så
z = z + (−y) + y = 0 + y = y. (14.32)
Sætning 658 Hvis alle elementer i en kommutativ ring R på nær 0 er invertible,
er ringen et integritetsområde.
Bevis. Antag at x · y = 0 og at x ≠ 0. Da har x ifølge forudsætningen en
multiplikativ invers x −1 , og vi får:
y = 1 · y = ( x −1 · x ) · y = x −1 · (x · y) = x −1 · 0 = 0. (14.33)