Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

38 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE.
gør de, hvorfor vi kan slutte at 1 og -2 er løsninger til ligningen, og de er de
eneste.
I den ovenstående deduktion (4.7) brugte vi kun medførepile. Det var derfor
vi efter endt deduktion ikke kunne slutte baglæns til, at 1 og -2 faktisk også
er løsninger til ligningen. Man kan også ved ligningsløsning vælge at slutte
ensbetydende ved hver omskrivning. Faktisk er alle de åbne udsagn i kæden
(4.10) ensbetydende, så vi i virkeligheden kan slutte således:⇔
x 2 + x = 2 (4.13)
⇔ x 2 + x + 1 4 = 21 4
⇔ (x + 1 2 )2 = 2 1 4
⇔ x + 1 √
2 = ± 2 1 4 = ±11 2
(4.14)
(4.15)
(4.16)
⇔ x = 1 eller x = −2 (4.17)
Når man gør det, kan man naturligvis straks konkludere at 1 og -2 er løsninger
og de er de eneste. Der er altså ikke grund til at lave en særskilt syntese eller
prøve. Vi har sammenbygget analysen og syntesen.
Nogle gange kan det godt betale sig at slutte gennem ensbetydende udsagn,
men andre gange er det for besværligt at holde rede på begge implikationerne
samtidigt, og det kan være en kilde til fejl i argumentet. Så meget ofte er det
lettere og mere sikkert at holde de to implikationsretninger separate, og altså
lave analysen og syntesen hver for sig.
4.5 Ikke stringent analyse
Hvis man bare er interesseret i et rent eksistensudsagn, er det som sagt ligegyldigt,
hvordan man kommer frem til en kandidat, bare det kan bevises, at
den virker. Man kan stadig have glæde af at lave en analyse, men så behøver
man ikke gøre sig umage for at sikre sig, at ens slutninger i analysen er helt
stringente. Lad os se på et eksempel. I parenteser angiver jeg de overvejelser vi
springer over:
Problem 100 Vis at der eksisterer en løsning til differentialligningen
f ′′ (x) = −f(x) (4.18)
på R som opfylder
f(0) = 0 og f ′ (0) = 1. (4.19)
Analyse: Antag at f løser problemet og skriv den som en potensrække
f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 · · · + a n x n + · · · (4.20)