Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

86 KAPITEL 7. RELATIONER. ÆKVIVALENSRELATIONER
Bemærkning 238 For ethvert naturligt tal n defineres Zn på samme måde
som mængden af de n restklasser modulo n
Eksempel 239 Mængden af restklasser Z24 er god at bruge, når man angiver
klokkeslæt. To timer efter klokken 23 plejer vi ikke at sige, at klokken er 25, men
at den er 1. Men 1 ≡ 25 (modulo 24) så de to klokkeslæt er ækvivalente. Sagt
anderledes: [25] = [1] i Z24. Det er altså praktisk at opfatte (hele) klokkeslæt
som restklasser i Z24 snarere end som hele tal.
Eksempel 240 På samme måde er det praktisk at opfatte vinkelmål angivet i
grader, som restklasser modulo 360.
For at få en god forståelse af ækvivalensklasserne for en ækvivalensrelation
indfører vi begrebet en klasseinddeling af en mængde
Definition 241 En familie Ω af ikke tomme delmængder af en mængde M
kaldes en klassedeling (eller en partition) af M, hvis mængderne i Ω er parvist
disjunkte, og deres foreningsmængde er hele M, med andre ord hvis
1. For alle mængder A og B i Ω gælder enten, at A = B eller at A ∩ B = ∅.
⋃
2. A = M
A∈Ω
1. Opdelingen af eleverne i en skole i klasser er en klassedel-
Eksempel 242
ing
2. Inddelingen af dyr i arter er en klassedeling.
3. Inddelingen af mennesker i mænd og kvinder er en klassedeling.
Vi vil nu vise to sætninger, som til sammen siger at ækvivalensrelationer og
klassedelinger er to sider af samme sag. Sagt med andre ord: En ækvivalensrelation
giver anledning til en klassedeling, og en klassedeling giver anledning til
en ækvivalensrelation. Disse to sætninger er hovedsætningerne i dette afsnit.
Sætning 243 Lad ∼ være en ækvivalensrelation på en mængde M.
familien af ækvivalensklasser M ∼ en klassedeling af M.
Da er
Bevis. Lad ∼ være en ækvivalensrelation på mængden M. Vi skal da bevise
at familien af ækvivalensklasser M ∼ består af ikke tomme mængder som
opfylder de to definerende egenskaber i 241. Da mængden af ækvivalensklasser
består af mængderne [a] for a ∈ M, skal vi altså vise
0. For ethvert a ∈ M gælder [a] ≠ ∅
1. For
⋃
a, b ∈ M, gælder enten [a] = [b] eller [a] ∩ [b] = ∅
2. [a] = M
a∈M
Ad. 0. Da ∼ er refleksiv er a ∼ a så a ∈ [a]. Altså er [a] ikke tom.
Ad.1. Lad a, b ∈ M. Vi vil vise egenskab 1, ved at vise, at hvis [a] ∩ [b] ≠ ˙∅,
så er [a] = [b]. Antag altså, at [a] ∩ [b] ≠ ∅. Så findes der et c ∈ [a] ∩ [b]. Da