Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

iv
INDHOLD
3.9.2 Ikke-konstruktive beviser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.10 Entydighedssætninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.10.1 Eksempel på entydighedssætning . . . . . . . . . . . . . . 31
3.11 Eksistens og entydighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.12 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Analyse og syntese. 33
4.1 Matematisk kreativitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Eksistensproblemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Analyse og syntese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Ligningsløsning. Et eksempel på analyse - syntese . . . . . . . . 36
4.5 Ikke stringent analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6 Advarsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.7 Terminologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.8 Problem- og sætningsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Induktionsbeviser 45
5.1 Simpel induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Fuldstændig induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Induktionsaksiomet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Mængdelære 57
6.1 Hvad er en mængde? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Delmængder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Fællesmængde og foreningsmængde . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.1 Familier af mængder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 Mængdedifferens og komplementærmængde . . . . . . . . . . . . 67
6.5 Mængdealgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.6 Produktmængde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.7 Potensmængden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.8 Russels paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.9 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7 Relationer. Ækvivalensrelationer 77
7.1 Relationer generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Orienterede grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3 Ækvivalensrelationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8 Afbildninger, funktioner 91
8.1 Injektivitet og surjektivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2 Billeder og urbilleder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3 Sammensætning af afbildninger, invers afbildning . . . . . . . . . 99
8.4 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105