Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

102 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTIONER
Definition 294 Lad A og B være mængder og lad f : A → B være en afbildning.
En afbildning g : B −→ A kaldes
1. en venstreinvers til f, hvis g ◦ f = 1 A ,
2. en højreinvers til f, hvis f ◦ g = 1 B ,
3. en invers til f, hvis g er både højre og venstreinvers til f, altså hvis
g ◦ f = 1 A og f ◦ g = 1 B .
Figur 8.3: Den inverse funktion
Øvelse 295 Overvej, om følgende funktioner har en højreinvers og en venstreinvers,
og angiv en eller flere sådanne, hvis de findes:
1. Funktionen f : R −→ R defineret ved f(x) = 4x − 3.
2. Funktionen f : R −→ R defineret ved f(x) = x 2 .
3. Funktionen f : R −→ R + ∪ {0} defineret ved f(x) = x 2 .
4. Funktionen f : R −→ [−1, 1] defineret ved f(x) = sin x.
Sætning 296 Lad A og B være mængder, og lad f : A → B være en afbildning.
Hvis f har en invers afbildning, da er den entydigt bestemt.
Bevis. Antag at g : B −→ A og h : B −→ A begge er inverse til f. Da gælder
g = g ◦ 1 B = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = 1 A ◦ h = h (8.31)
Bemærkning 297 Derimod er højre- og venstreinverser ikke nødvendigvis entydige.
Hvis du ikke allerede har indset dette i forbindelse med Øvelse 295, bør
du gøre det nu.