Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

146 KAPITEL 10. PERMUTATIONER
Altså er ethvert element i A n et billede af et element i B n så f er surjektiv.
Afbildningen f er altså en bijektion mellem A n og B n . Ifølge Sætning 313
har A n og B n derfor samme antal elementer. Endvidere ved vi fra Sætning 342
at mængden S n af alle permutationer af A har n! elementer. Da A n og B n er
disjunkte, følger derfor af sætning 320 at
2 |A n | = 2 |B n | = |A n | + |B n | = |S n | = n! (10.94)
hvoraf vi kan se, at |A n | = |B n | = n!/2.
10.4 Opgaver
1. Betragt de to permutationer
( )
1 2 3 4 5 6 7
µ =
4 1 7 3 6 5 2
og
σ =
( 1 2 3 4 5 6 7
2 5 4 7 1 6 3
(10.95)
)
. (10.96)
(a) Bestem µσ og σµ.
(b) Bestem permutationernes fixpunkter.
(c) Bestem permutationernes inverser.
(d) Opskriv de to permutationer og deres inverser som produkt af disjunkte
cykler.
e. Bestem fortegnet for µ, σ, µ −1 , σ −1 , µσ og σµ.
2. Betragt følgende to permutationer opskrevet i direkte notation: σ = (2, 9, 8, 5, 3, 1, 4, 6, 7)
og µ = (3, 2, 1, 9, 8, 5, 7, 6, 4).
(a) Bestem µσ og σµ.
(b) Bestem permutationernes fixpunkter.
(c) Bestem permutationernes inverser.
(d) Opskriv de to permutationer og deres inverser som produkt af disjunkte
cykler.
(e) Bestem fortegnet for µ, σ, µ −1 , σ −1 , µσ og σµ.
3. På mængden {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} er givet følgende produkt af cykler: σ =
(1 5 6 7 3) (8 2 4 6) (3 5 7).
(a) Opskriv σ som produkt af disjunkte cykler.
(b) Bestem σ’s fortegn.
(c) Angiv den inverse til σ.
4. Lad A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Betragt følgende produkt af cykler på A :
Opskriv produktet med tabelnotation.
(4 1 3 5) (5 6 3) . (10.97)