Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

232 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AKSIOMER FOR R
Bevis. Beviset føres ved modstrid. Antag altså at der findes et x ∈ R, så
x < n er falsk for alle n ∈ N. I så fald er n ≤ x for alle n ∈ N, så N er opadtil
begrænset af x. Ifølge supremumsegenskaben findes da et supremum y for N.
Da y er det mindste overtal for N, og y − 1 < y er y − 1 ikke et overtal. Der
findes altså et naturligt tal m så y − 1 < m. Ifølge Sætning 711 er da y < m + 1,
men da m + 1 ∈ N strider det mod at y er et overtal.
Sætning 738 For ethvert positivt reelt tal x findes et naturligt tal n, så 1/n <
x.
Bevis. Antag x ∈ R + . Ifølge Sætning 707) er da x −1 ∈ R + . Altså findes et
n ∈ N så x −1 < n. Ifølge Sætning 712 er da x = ( x −1) −1
> 1/n (overvej).
Sætning 739 Ethvert positivt reelt tal har en positiv kvadratrod. Sagt med
andre ord:
∀a ∈ R + ∃b ∈ R + : b 2 = a. (16.60)
Bevis. Betragt mængden
A = { x ∈ R | x 2 < a } . (16.61)
Da 0 ∈ A er A ikke tom. Vi vil vise at A også er opadtil begrænset, mere
præcist at a + 1 er et overtal. Vi skal altså vise at
x 2 < a ⇒ x ≤ a + 1. (16.62)
Det gør vi ved kontraposition. Antag altså at x > a + 1. Da følger af regnereglerne
i Sætning 711 at
x 2 ≥ (a + 1)x ≥ (a + 1) · 1 = a + 1 ≥ a. (16.63)
hvilket netop er negationen af venstresiden i (16.62).
Ifølge supremumsegenskaben har A altså et supremum b. Det kan vises, at
b > 0 og at
b 2 = a, (16.64)
med andre ord, at b er en positiv kvadratrod af a. Beviset for at b er positiv
overlades til læseren. Beviset for at b 2 = a forløber helt parallelt med beviset i
Eksempel 550 idet vi viser at både b 2 < a og b 2 > a fører til modstrid, hvoraf
trikotomiloven giver, at b 2 = a.
Da vi i Sætning 79 har bevist at 2 ikke har en kvadratrod i Q, ligger der
altså irrationale tal i R.
Beviserne for de følgende sætninger overlader vi til læseren. Se opgaverne 3
og 4 nedenfor.
Sætning 740 For alle x ∈ R, findes et n ∈ Z, hvorom det gælder, at
n ≤ x < n + 1 (16.65)