Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

9.3. PERMUTATIONER OG KOMBINATIONER 117
Korollar 342 Lad A være en mængde med n elementer. Da er der n! mulige
permutationer af alle elementerne fra A.
Øvelse 343 I et 200-meter-løb deltager 6 løbere. På hvor mange mulige måder
kan de fordele sig på første- til sjettepladsen? På hvor mange måder kan de
fordele sig på guld-, sølv- og bronze-pladsen?
Eksempel 344 Fem personer skal sidde omkring et rundt bord. Det betyder
ikke noget hvilken stol de sidder på; det eneste der betyder noget er, hvem de
sidder ved siden af. På hvor mange måder kan de sidde?
Da det kun er den relative placering som betyder noget, kan den første person
anbringes på en bestemt stol. Derefter kan de resterende 4 sætte sig på 4! = 24
forskellige måder. Disse svarer til 24 forskellige bordplaner.
Når man taler om permutationer, tages der hensyn til ordningen på den
udvalgte liste. I mange tilfælde er man snarere interesseret i at udvælge en
delmængde, hvor ordnen ikke betyder noget. I så fald taler man om kombinationer:
Definition 345 I kombinatorik kaldes en delmængde på r elementer af en
mængde A også for en kombination på r elementer udtaget af A. Hvis A
har n elementer, ( kaldes antallet af kombinationer på r elementer udtaget af A
n
for n K r eller (siges: n over r).
r)
Bemærkning 346 Forskellen på en permutation og en kombination er altså, at
ordningen har betydning, når det drejer sig om permutationer, medens ordningen
ikke har betydning, når det drejer sig om kombinationer. Permutationerne
(1, 2, 3) og (3, 1, 2) udtaget af mængden {1, 2, 3, 4, 5} er forskellige, hvorimod de
er ens opfattet som kombinationer, da {1, 2, 3} = {3, 1, 2}.
Lemma 347 For ikke negative hele tal n ≥ r gælder
nP r = r! n K r . (9.20)
Bevis. Betragt en vilkårlig kombination (en delmængde) med r elementer udtaget
af en mængde A med n elementer. Da en mængde med r elementer kan
ordnes på r! måder (korollar 342), svarer der r! permutationer til enhver sådan
kombination. Deraf følger resultatet.
Sætning 348 Antallet af kombinationer på r elementer udtaget af en mængde
med n elementer er
( n n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1) n!
nK r = = =
r)
r!
r!(n − r)! . (9.21)
Bevis. Kombiner sætning 341 med 347.
Øvelse 349 En fodboldtræner har 15 all-round spillere at vælge imellem. På
hvor mange måder kan han udtage et hold på 11 spillere? Hvis to af de 15 er
målmænd, hvor mange mulige hold kan han da udtage?