Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

158 KAPITEL 11. GRAFER
Øvelse 456 Kan man finde en åben Euler-tur over broerne i Königsberg?
Øvelse 457 Hvilke af standard-graferne K n , C n , P n i eksempel 441 har en lukket
Euler-tur, og hvilke har en åben Euler-tur ?
Beviset for sætning 453 giver en algoritme til at bestemme en lukket Eulertur
i en sammenhængende graf G, hvori enhver knude har lige valens. Man kan
dog forbedre algoritmen:
Definition 458 En kant i en graf kaldes en bro, hvis grafen bliver usammenhængende
når kanten fjernes.
Algoritme 459 Fleurys algoritme Uformel forklaring: Start med at vælge
en vilkårlig knude v 0 i G. Vi bygger da successivt en tur op ved at starte langs
en kant e 1 til en ny knude v 1 . Fjern kanten e 1 fra G. Hvis der kun er én kant
e 2 videre fra knuden v 1 , går vi videre ad den til en ny knude v 2 , og fjerner både
e 2 og v 1 fra grafen. Hvis der derimod er flere kanter videre fra v 1 vælger vi én
e 2 , som ikke er en bro. Vi går da videre ad e 2 til en knude v 2 og fjerner kun e 2
fra grafen. Således fortsættes til vi når tilbage til v 0 .
Algoritmen afviger fra den vi brugte i beviset for sætning 453 ved at vi hele
tiden sørger for at gå ad en kant, som ikke er en bro (hvis det overhovedet er
muligt). Den har den fordel, at når den slutter, har den frembragt en lukket
Euler-tur. Der bliver altså ikke nogle mindre delgrafer til overs, som man så skal
tilføje til turen, for at den bliver en Euler-tur. Algoritmen har dog den ulempe,
at det ikke er klart at den virker. Der er to spørgsmål som skal afklares:
1. Hvis der er flere kanter videre fra en knude, hvorfor er der da en af dem,
som ikke er en bro?
2. Hvorfor har algoritmen frembragt en lukket Euler-tur når den slutter?
Før vi beviser at Fleurys algoritme virker, skal vi lige vise et lemma, som vi
også får brug for i behandlingen af træer:
Lemma 460 Lad e være en kant i en sammenhængende graf. Da er følgende
tre udsagn ækvivalente:
1. Den graf der fremkommer ved at fjerne e er sammenhængende.
2. e er kant i en kreds i G.
3. e er kant i en lukket tur i G.
Bevis. Hvis e er en løkke, er udsagnene 1, 2 og 3 alle sande, hvorfor de implicerer
hinanden.
Hvis e forbinder to forskellige knuder, og der er en anden kant, der forbinder
de to knuder, er alle tre udsagn også sande (overvej).
Vi kan derfor antage, at e forbinder to forskellige knuder v og w, og at e er
den eneste kant som forbinder v og w.
Vi vil vise 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1.