Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

13.3. GRUPPER 195
Kompositionsregler for endelige mængder, specielt endelige grupper, kan angives
ved en kompositionstavle, som til ethvert par x, y i mængden angiver
x ⋆ y. Kompositionstavlen for (Z4, +) ser således ud:
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
(13.48)
Kompositionstavlen for ({1, −1, i, −i} , ·) ser således ud:
· 1 i −1 −i
1 1 i −1 −i
i i −1 −i 1
−1 −1 −i 1 i
−i −i 1 i −1
(13.49)
Eksempel 609 Betragt de flytninger af planen over i sig selv, som afbilder et
rektangel, som ikke er et kvadrat, over i sig selv. Mængden af disse flytninger
kalder vi K. K har fire elementer nemlig:
e: Den identiske afbildning.
a: Spejlingen i midtnormalen for det ene sæt modstående sider.
b: Spejlingen i midtnormalen for det andet sæt modstsående sider.
c: En drejning på 180 ◦ om skæringspunktet for de to omtalte midtnormaler.
Fra 604 ses let, at (K, ◦) er en gruppe. Dens kompositionstavle ser således
ud:
◦ e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
(13.50)
Denne gruppe kaldes Klein’s firegruppe 2 .
Bemærkning 610 I kompositionstavlen for en endelig gruppe G vil ethvert
gruppelement forekomme præcist en gang i hver række og i hver søjle. Se for eksempel
på forekomsterne af e, a, b, c i kompositionstavlen for Klein’s firegruppe.
Forklaringen på dette fænomen leveres af forkortningreglerne i grupper, Sætning
603: Hvis for eksempel et gruppeelement v ∈ G forekommer i rækken for
x og i søjlerne for y og z, så gælder der x ⋆ y = x ⋆ z = v. Den første forkortningsregel
viser y = z. Derfor kan v højst forekomme n gang i rækken for x.
På den anden side gælder der
v = e ⋆ v = (x ⋆ x −1 ) ⋆ v = x ⋆ (x −1 ⋆ v).
2 Efter den tyske matematiker Felix Klein (1849-1925).