Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

8 KAPITEL 1. TAL, ISÆR DE HELE TAL
Bevis. Se sætning 108 og 112.
Sætning 31 Hvis a og b ikke har nogen fælles primdivisor da er (a, b) = 1.
Bevis. Hvis d > 1 er en fælles divisor i a og b må d ifølge aritmetikkens fundamentalsætning
have en primdivisor, og denne må derfor være en primdivisor i
både m og n. Men m og n har ingen fælles primdivisorer, så vi kan slutte at a
og b ikke har nogen fælles divisorer større end 1. De er altså indbyrdes primiske.
1.4 Rationale tal
Til slut skal vi se lidt på de rationale tal altså brøkerne a/b hvor a og b er hele
tal (kaldet tæller og nævner) og b ≠ 0. Det ses let at sum, differens og produkt
af to rationale tal igen giver rationale tal og at et rationalt tal divideret med
et rationalt tal, som ikke er 0, igen er et rationalt tal. Det er også velkendt at
man kan forlænge en brøk, d.v.s gange både tæller og nævner med samme hele
tal forskellig fra 0. Hvis det hele tal t går op i både tæller og nævner kan man
forkorte brøken med t d.v.s. dividere tæller og nævner med t.
Definition 32 En brøk a/b kaldes uforkortelig hvis (a, b) = 1.
Sætning 33 Ethvert rationalt tal kan skrives som en uforkortelig brøk m/n.
Hvis det rationale tal er positivt kan man vælge m og n positive.
Bevis. Lad a/b være et rationalt tal hvor a > 0 og b > 0. Da kan a og b
primopløses. Ved at forkorte alle fælles primdivisorer bort kan man opnå at
a/b = m/n hvor m og n er naturlige tal uden fælles primdivisorer. Men så
følger af sætning 31 at (m, n) = 1.
Hvis a/b < 0 kan a/b skrives på formen (−c)/e, hvor c > 0 og e > 0. Ved at
bruge ovenstående argument på c/e fås det ønskede.
Tallet 0 kan skrives som 0/1, som er uforkortelig.
1.5 Opgaver
1. Brug Euklids algoritme til at bestemme den største fælles divisor d i 616 og
1210. Bestem dernæst hele tal x og y så
d = x · 616 + y · 1210. (1.49)
2. Find primopløsninger af tallene 1001 og 5390 og opskriv 1001/5390 som
uforkortelig brøk.
3. Formuler og bevis en sætning om hvordan man fra primopløsningerne for
to hele tal kan bestemme deres største fælles divisor og deres mindste fælles
multiplum.