Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

32 KAPITEL 3. BEVISER
3.11 Eksistens og entydighed
Mange sætninger udsiger både eksistens og entydighed. De begynder ofte med
ordene ”der findes én og kun én...” eller ”der findes netop én...”
Sætning 95 Der findes netop en positiv rod i ligningen x 2 + x = 2.
Bevis. Da 1 2 + 1 = 2 er 1 en positiv rod i ligningen, og da x 2 + x er voksende
for x > 0 er 1 den eneste positive rod.
3.12 Opgaver
1. Afgør om følgende udsagn er sande eller falske (giv bevis eller modeksempel):
(a) a 2 + b 2 = (a + b) 2 for a, b ∈ R.
(b) Der eksisterer naturlige tal x og y, så at 5x + 2y = 27.
2. Lad x og y være positive reelle tal. Vis at
x
y + y x ≤ 2 ⇒ (x − y)2 ≤ 0. (3.41)
Brug dette til at give et modstridsbevis for følgende sætning:
Hvis x og y er forskellige positive reelle tal, da er
3. Lad x og y være hele tal. Bevis følgende sætning:
x
y + y > 2. (3.42)
x
x · y er ulige, hvis og kun hvis x er ulige og y er ulige. (3.43)
I beviset må du gerne bruge Sætning 80.
4.
(a) Bevis at √ 3 er irrational
(b) Bevis at √ 6 er irrational
(c) Gælder der følgende sætning? Summen af to irrationale reelle tal er
irrational.
(d) Afgør om √ 2 + √ 3 er irrational.
I beviserne må du gerne bruge Sætning 26
5. Bevis at for et vilkårligt helt tal n er n 2 − 5n + 7 ulige.