Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

13.4. GRUPPEISOMORFIER 197
Bevis. Vi skal først vise at ⋆ er en kompositionsregel på I, altså at for x, y ∈ I
gælder, at x ⋆ y ∈ I. Antag altså, at x, y ∈ I. Da har x og y inverser x −1 og
y −1 . Som i sætning 602 ses at y −1 ⋆ x −1 er et inverst element til x ⋆ y. Altså
gælder x ⋆ y ∈ I.
Vi skal dernæst vise at de tre krav til en gruppe er opfyldt af (I, ⋆) .
1. Associativiteten af ⋆ arves fra (M, ⋆).
2. Det følger af sætning 573 at det neutrale element e ∈ I. Det er klart at
e er det neutrale element i (M, ⋆).
3. Lad x ∈ I. Vi skal vise at x −1 ∈ I altså at x −1 har en invers. Men, som
i sætning 601 ses at x er invers til x −1 , hvorfor x −1 ∈ I.
Eksempel 612 Antag nu at vi allerede har vist, at kompositionsreglerne på
(Q, ·), (R, ·) og på mængderne af afbildninger af en mængde ind i sig selv, samt
på mængden af lineære afbildninger af et vektorrum ind i sig selv (begge udstyret
med ◦) alle er associative, og at de indeholder et neutralt element. Da viser sætning
611 i et hug at de følgende mængder er grupper: (Q \ {0} , ·), (R \ {0} , ·),
mængden S M af bijektioner af en mængde på sig selv, og mængden af lineære
bijektive afbildninger af et vektorrum på sig selv (begge udstyret med ◦). Dette
illustrerer styrken i at bevise sætninger om matematiske strukturer.
13.4 Gruppeisomorfier
Selv om der er mange forskellige grupper, er de altså fælles om alle gruppeteoriens
sætninger. På denne måde ligner de alle hinanden. Men der er nogle
grupper, der ligner hinanden mere end andre. Det er denne vage idé om lighed vi
vil præcisere i dette afsnit. Vi vil ikke sammenligne grupper ud fra hvilken slags
elementer de har. Om elementerne er tal, afbildninger, matricer, restklasser
eller noget helt femte, er gruppeteorien uvedkommende. Det vi vil sammenligne
er gruppernes struktur, altså hvordan kompositionsreglerne virker i grupperne.
Betragt for eksempel de tre grupper (Z4, +), ({1, −1, i, −i} , ·), og (K, ◦),
hvis kompositionstavler vi skrev op ovenfor. I Kleins firegruppe har alle elementerne
den egenskab, at de giver det neutrale element, hvis de sammensættes
med sig selv: x ⋆ x = e. Denne egenskab har de to andre grupper ikke.
De to grupper (Z4, +) og ({1, −1, i, −i} , ·) ligner hinanden meget. Faktisk
har de samme kompositionstavle, hvis man ser bort fra elementernes navne. Hvis
vi omdøber elementerne i {1, −1, i, −i} og kalder dem 1 = ϕ([0]), i = ϕ ([1]),
−1 = ϕ ([2]) og −i = ϕ ([3]), så vil kompositionstavlen for ({1, −1, i, −i} , ·) få
følgende udseende:
· ϕ ([0]) ϕ ([1]) ϕ ([2]) ϕ ([3])
ϕ ([0]) ϕ ([0]) ϕ ([1]) ϕ ([2]) ϕ ([3])
ϕ ([1]) ϕ ([1]) ϕ ([2]) ϕ ([3]) ϕ ([0])
ϕ ([2]) ϕ ([2]) ϕ ([3]) ϕ ([0]) ϕ ([1])
ϕ ([3]) ϕ ([3]) ϕ ([0]) ϕ ([1]) ϕ ([2])
(13.51)