Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

More documents

Recommendations

Info

$Øvelse 1: Få LATEX op at stå Øvelse 2: At skrive matematiske ...$

162 KAPITEL 11. GRAFER Bemærkning 471 Betragt orienterede grafer med en fast knudemængde V. Hvis der tillades multiple kanter, er der flere af disse grafer, som svarer til samme relation på V . Hvis vi derimod kun betragter grafer uden multiple kanter, bestemmer forskellige grafer forskellige relationer (overvej). Definition 472 Omvendt, hvis R er en relation på mængden V, definer vi en orienteret graf G R uden multiple kanter på følgende måde: G R har knudemængde V og for v, w ∈ V er (v, w) en orienteret kant i G R , hvis vRw. Bemærkning 473 Derved er der etableret en bijektiv korrespondance mellem mængden af relationer på V og orienterede grafer uden multiple kanter med V som knudemængde. Af denne grund ser man ofte en orienteret graf defineret som en relation på en mængde, men denne definition kan ikke indfange grafer med multiple kanter. Bemærkning 474 Vi har allerede brugt den bijektive korrespondance mellem relationer og orienterede grafer uden multiple kanter i kapitel 7. Der observerede vi også følgende sætninger: Sætning 475 En relation R på V er irrefleksiv (altså ¬vRv for alle v ∈ V ), hvis og kun hvis dens tilhørende orienterede graf ikke har nogen løkker. Sætning 476 En relation R på V er symmetrisk, hvis og kun hvis alle kanter i dens tilhørende orienterede graf kommer i modsat orienterede par, dvs. når v, w ∈ V gælder det, at (v, w) er en orienteret kant i G R , hvis og kun hvis (w, v) er en orienteret kant i G R . Bemærkning 477 Hvis R er en symmetrisk relation, kan man derfor slå hvert par af modsat orienterede kanter sammen til én uorienteret kant. På den måde fremkommer en (uorienteret) graf uden multiple kanter. Omvendt er det klart, at en (uorienteret) graf uden multiple kanter på denne måde er en graf hørende til en symmetrisk relation. Bemærkning 478 Hvis en relation er refleksiv vil dens tilhørende orienterede graf indeholde en løkke ved hver knude. Ofte vælger man helt at udelade disse løkker, når det på anden vis fremgår at relationen er refleksiv. Bemærkning 479 En refleksiv og symmetrisk relation svarer på denne måde til en simpel graf. Omvendt definerer en simpel graf en refleksiv og symmetrisk relation. Vær dog opmærksom på at man her skal fastlægge at relationen er refleksiv og at vi har valgt at udelade løkkerne. 11.4 Træer I afsnittet om kombinatorik har vi allerede brugt tælletræer til at ordne tælleprocesser. Vi skal nu karakterisere træer som en særlig slags grafer.
11.4. TRÆER 163 Definition 480 En graf siges at være kredsløs, hvis den ikke indeholder en ikke-triviel kreds. En kredsløs graf kaldes også en skov. En sammenhængende kredsløs graf kaldes et træ. Figur 11.8: Træer og ikke-træer. Bemærkning 481 Når en sammenhængende graf ikke indeholder nogen kreds betyder det intuitivt, at den ikke indeholder flere kanter end der lige skal til for at få den til at hænge sammen. Hvis grafen har n knuder skal der mindst n − 1 kanter til at gøre den sammenhængende. Faktisk har et træ netop dette minimale antal kanter. Mere præcist gælder følgende sætning: Sætning 482 Lad G være en graf med n knuder. Da er følgende udsagn ækvivalente: 1. G er et træ, altså G er sammenhængende og kredsløs. 2. G er sammenhængende og har n − 1 kanter. 3. G er kredsløs og har n − 1 kanter Til brug i beviset for denne sætning bevises først et par lemmaer: Lemma 483 Et træ med mere end én knude har en knude med valens 1 (det vi har kaldt et blad). Bevis. Lad T være et træ med mere end én knude. Vælg en vilkårlig knude v 1 . Da T er sammenhængende, er der en kant e 1 , som forbinder v 1 med en anden knude v 2 . Hvis v 2 har valens 1 er vi færdige. Hvis ikke, er der en anden kant e 2 ≠ e 1 , som forbinder v 2 med en tredie knude v 3 . Da der ikke findes en kreds i G, må v 3 være forskellig fra v 1 og v 2 . Hvis v 3 har valens 1 er vi færdige. Ellers fortsættes på denne måde. Da G ikke indeholder nogen kreds, leder algoritmen hele tiden til nye knuder. Men da der kun er endeligt mange knuder må processen stoppe ved en knude med valens 1.
Page 1:
Diskrete Matematiske Metoder Jesper
Page 4 and 5:
iv INDHOLD 3.9.2 Ikke-konstruktive
Page 6 and 7:
vi INDHOLD 15.5 Opgaver . . . . . .
Page 8 and 9:
viii PREFACE
Page 10 and 11:
x INTRODUKTION. formålet med bogen
Page 12 and 13:
2 KAPITEL 1. TAL, ISÆR DE HELE TAL
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
10 KAPITEL 2. LOGIK 2.2 Sammensatte
Page 22 and 23:
12 KAPITEL 2. LOGIK læses som (¬p
Page 24 and 25:
14 KAPITEL 2. LOGIK I vores alminde
Page 26 and 27:
16 KAPITEL 2. LOGIK Sætning 65 Lad
Page 28 and 29:
18 KAPITEL 2. LOGIK er x 2 > 4 (san
Page 30 and 31:
20 KAPITEL 2. LOGIK (b) Ligningen x
Page 32 and 33:
22 KAPITEL 3. BEVISER • For hvert
Page 34 and 35:
24 KAPITEL 3. BEVISER Hvis processe
Page 36 and 37:
26 KAPITEL 3. BEVISER 3.7.1 Eksempl
Page 38 and 39:
28 KAPITEL 3. BEVISER Notation 82 B
Page 40 and 41:
30 KAPITEL 3. BEVISER 3.9.2 Ikke-ko
Page 42 and 43:
32 KAPITEL 3. BEVISER 3.11 Eksisten
Page 44 and 45:
34 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. d
Page 46 and 47:
36 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. 4
Page 48 and 49:
38 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. g
Page 50 and 51:
40 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. e
Page 52 and 53:
42 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. f
Page 54 and 55:
44 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE.
Page 56 and 57:
46 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Det
Page 58 and 59:
48 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER If
Page 60 and 61:
50 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Ind
Page 62 and 63:
52 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Vi
Page 64 and 65:
54 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER bev
Page 66 and 67:
56 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER og
Page 68 and 69:
58 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Sætning
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
62 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Figur 6.
Page 74 and 75:
64 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Figur 6.
Page 76 and 77:
66 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Definiti
Page 78 and 79:
68 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Definiti
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
72 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Notation
Page 84 and 85:
74 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE ved, hvi
Page 86 and 87:
76 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE og 6. Be
Page 88 and 89:
78 KAPITEL 7. RELATIONER. ÆKVIVALE
Page 90 and 91:
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
Page 102 and 103:
92 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTIO
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
100 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTI
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
110 KAPITEL 9. TÆLLEMETODER. KOMBI
Page 122 and 123: 112 KAPITEL 9. TÆLLEMETODER. KOMBI
Page 142 and 143: 132 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Notat
Page 144 and 145: 134 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Permu
Page 146 and 147: 136 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 10.2
Page 148 and 149: 138 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Hvis
Page 150 and 151: 140 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 3. Fo
Page 152 and 153: 142 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Eksem
Page 154 and 155: 144 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 2. An
Page 156 and 157: 146 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Alts
Page 158 and 159: 148 KAPITEL 10. PERMUTATIONER hvor
Page 160 and 161: 150 KAPITEL 11. GRAFER punkter og k
Page 162 and 163: 152 KAPITEL 11. GRAFER 1. Rute: En
Page 164 and 165: 154 KAPITEL 11. GRAFER Figur 11.4:
Page 166 and 167: 156 KAPITEL 11. GRAFER Definition 4
Page 168 and 169: 158 KAPITEL 11. GRAFER Øvelse 456
Page 170 and 171: 160 KAPITEL 11. GRAFER som ligger i
Page 174 and 175: 164 KAPITEL 11. GRAFER Korollar 484
Page 176 and 177: 166 KAPITEL 11. GRAFER Eksempel 491
Page 178 and 179: 168 KAPITEL 11. GRAFER Figur 11.10:
Page 180 and 181: 170 KAPITEL 11. GRAFER
Page 182 and 183: 172 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Page 196 and 197: 186KAPITEL 13. KOMPOSITIONSREGLER,
Page 214 and 215: 204 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER De
Page 216 and 217: 206 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER Be
Page 218 and 219: 208 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER 14
Page 220 and 221: 210 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER Ø
Page 222 and 223:
212 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER S
Page 224 and 225:
214 KAPITEL 15. POLYNOMIER (a 0 , a
Page 226 and 227:
216 KAPITEL 15. POLYNOMIER Sætning
Page 228 and 229:
218 KAPITEL 15. POLYNOMIER Sætning
Page 230 and 231:
220 KAPITEL 15. POLYNOMIER Bevis. f
Page 232 and 233:
222 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AK
Page 234 and 235:
Page 236 and 237:
Page 238 and 239:
Page 240 and 241:
Page 242 and 243:
Page 244 and 245:
Page 246 and 247:
236 KAPITEL 17. TALSYSTEMETS OPBYGN
Page 248 and 249:
Page 250 and 251:
Page 252 and 253:
Page 254 and 255:
244 INDEX fælles nævner, 238 fæl
Page 256:
246 INDEX relateret delmængde, 79
show all

Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?