Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

56 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER
og bevis din formodning.
5. Bevis at følgende formler er korrekte for alle n ∈ N:
2 + 5 + 8 + · · · + (3n − 1) =
n(3n + 1)
2
(5.37)
1 + 5 + 9 + · · · + (4n − 3) = n(2n − 1) (5.38)
( ) 2 n(n + 1)
1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · + n 3 =
.
2
(5.39)
6. Lad f(x) = ln x. Udregn de første afledede af f, og opstil en formodning om
en formel for dn f
dx n . Bevis din formodning ved induktion.
7. Bevis, at enhver ikke tom delmængde af de naturlige tal har et mindste
element (velordningsprincippet). Vink: Antag at A ⊆ N og at A ikke har et
mindste element. Brug da induktionsaksiomet på ∁A til at vise, at A er tom.
8. Lad x ≠ 1 være et reelt tal. Definer rekursivt betydningen af
og bevis ved induktion at
1 + x + x 2 + · · · + x n , (5.40)
1 + x + x 2 + · · · + x n = xn+1 − 1
x − 1 . (5.41)
9. Lad k ∈ N og lad A ⊆ N, og antag at det gælder at
(a) k ∈ A
(b) m ∈ A ⇒ (m + 1) ∈ A.
Vis at {n ∈ N | k ≤ n} ⊆ A.
10. Formuler en sætning, svarende til princippet om simpel induktion, men hvor
induktionen ikke starter ved 1, men ved et vilkårligt k ∈ N. Brug resultatet i
opgave 9 til at bevise din sætning.
11. Betragt polynomier
f(x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 (5.42)
med rationale koefficienter a 0 , . . . a n . Hvis a n ≠ 0, så kaldes n for f’s grad og
betegnes med deg f. Således er deg f kun defineret, hvis f ≠ 0.
Et polynomium f af grad ≥ 1 kaldes reducibelt, hvis der findes en spaltning
f = g · h, hvor g, h er polynomier med grader strengt mindre end deg f. Er f
ikke reducibel, kaldes f irreducibel.
Vis ved fuldstændig induktion, at ethvert polynomium er et produkt af irreducible
polynomier