Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

72 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE
Notation 186 Man kan naturligvis lade A = B i definitionen af produktmængden.
I så fald skriver man ofte A 2 i stedet for A × A.
Eksempel 187 Bestem A 2 og B 2 når A og B har samme betydning som i
eksempel 185
Eksempel 188 R 2 = R×R består af reelle talpar (a, b) hvor a, b ∈ R. Hvis man
i planen indlægger to på hinanden vinkelrette tallinjer, kan man på velkendt og
entydig vis tilordne et bestemt talpar fra R 2 til ethvert punkt i planen.
Øvelse 189 Opskriv følgende delmængde af R 2 : [1, 4]×]−1, 3[ på formen {(x, y) | ....}
og illustrer mængden i talplanen.
Definition 190 Produktmængden A × B × C af tre givne mængder A, B og C
defineres tilsvarende ved
A × B × C = {(a, b, c) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B) ∧ (c ∈ C)} . (6.78)
og så videre for flere mængder.
Sætning 191 Lad A, B og C være mængder. Da gælder
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C), (6.79)
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), (6.80)
(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C), (6.81)
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C), (6.82)
A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C), (6.83)
(A \ B) × C = (A × C) \ (B × C), (6.84)
A ⊆ B ⇒ A × C ⊆ B × C, (6.85)
A ⊆ B ⇒ C × A ⊆ C × B (6.86)
Bevis. Vi viser kun (6.80). Resten overlades til læseren.
For et vilkårligt talpar (x, y) har vi følgende biimplikationer:
Heraf følger (6.80).
(x, y) ∈ A × (B ∪ C) (6.87)
⇔ (x ∈ A) ∧ (y ∈ B ∪ C) (6.88)
⇔ (x ∈ A) ∧ ((y ∈ B) ∨ (y ∈ C)) (6.89)
⇔ ((x ∈ A) ∧ (y ∈ B)) ∨ ((x ∈ A) ∧ (y ∈ C)) (6.90)
⇔ ((x, y) ∈ A × B) ∨ ((x, y) ∈ A × C) (6.91)
⇔ (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C) (6.92)