Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

10.1. NOTATION OG PRODUKT 135
Bevis. Lad σ og τ være disjunkte permutationer af A og lad a ∈ A. Vi skal da
vise at
τ · σ(a) = σ · τ(a). (10.20)
Enten er a et fixpunkt for begge permutationer, eller også flyttes a af en af
dem.
1. Hvis a er et fixpunkt for både σ og τ så gælder
τ · σ(a) = τ(a) = a = σ(a) = σ · τ(a) (10.21)
2. Antag at a flyttes af en af permutationerne, for eksempel af σ. Da σ og
τ er disjunkte, må a derfor være et fixpunkt for τ. Altså gælder
σ · τ(a) = σ(a) (10.22)
Ifølge lemma 395 ved vi, at da a flyttes af σ, så flyttes σ(a) også af σ. Men da
σ og τ er disjunkte, må σ(a) derfor også være et fixpunkt for τ. Derfor gælder
τ · σ(a) = σ(a). (10.23)
Af (10.22) og (10.23) ses, at det også i dette tilfælde gælder at τ ·σ(a) = σ ·τ(a).
Bemærkning 397 Man kan illustrere en permutation σ ved en figur, hvor
mængdens elementer a 1 , a 2 , ..., a n er placeret på en vilkårlig måde, og hvor der
anbringes en pil fra et element a i til et andet a j hvis σ(a i ) = a j . For eksempel
kan permutationen σ defineret i (10.7) illustreres ved diagrammet i figur 10.2
Figur 10.2: Permutation delt op i cykler.
Det ses af figuren at σ kan deles op i tre cykler, hvori elementerne successivt
afbildes over i hinanden. Denne observation vil vi nu forfølge.