Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

210 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER
Øvelse 666 Lad (L, +, ·) være et legeme. Bevis, at for x, y ∈ L gælder
x − y = 0 ⇔ x = y (14.55)
og hvis y ≠ 0
x/y = 1 ⇔ x = y (14.56)
Ligesom for grupper vil vi regne to legemer for essentielt samme legeme, hvis
de er isomorfe.
Definition 667 Lad (L, +, ·) og (M, +, ·) være legemer. En afbildning ϕ:L −→
M kaldes en legemsisomorfi, hvis den er bijektiv og for alle x, y ∈ L opfylder:
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), (14.57)
ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y). (14.58)
Hvis der findes en legemsisomorfi mellem to legemer, siges de at være isomorfe.
Bemærkning 668 Da en legemsisomorfi (L, +, ·) −→ (M, +, ·) specielt er en
gruppeisomorfi (L, +) −→ (M, +), er ϕ(0 l ) = 0 M (sætning 617), hvorfor ϕ også
er en gruppeisomorfi (L \ {0} , ·) −→ (M \ {0} , ·). Derfor gælder sætningerne
om gruppeisomorfier også om legemsisomorfier.
Er nu alle legemer isomorfe, eller er der flere essentielt forskellige legemer?
Der er faktisk mange forskellige legemer. Ud over de reelle tal, som vi har
ladet os inspirere af, er de rationale tal og de komplekse tal, med de sædvanlige
regneoperationer, også eksempler på legemer.
Eksempel 669 Talmængderne Q, R og C med de sædvanlige regneoperationer
er ikke isomorfe legemer.
Bevis. Det anses for velkendt at Q, R og C er legemer. Fra sætning 316-318
vides at Q, ikke har samme kardinalitet som R og C Derfor kan de ikke være
isomorfe. Vi skal derfor blot vise at R og C ikke er isomorfe.
Beviset føres ved modstrid. Antag altså at ϕ : C −→ R er en legemsisomorfi.
Betragt ϕ(i) ∈ R. Ifølge (14.58, 13.53 og 13.55) gælder
ϕ(i) · ϕ(i) = ϕ(i · i) (14.59)
= ϕ(−1) = −ϕ(1) (14.60)
= −1. (14.61)
Men der findes intet reelt tal som ganget med sig selv giver −1. Vi er altså nået
til en modstrid, og må konkludere at der ikke findes en isomorfi mellem C og R.
Præcist samme bevis kan også bruges til at vise, at Q og C ikke er isomorfe.
At Q og R ikke er isomorfe kan også vises ved en lille ændring i ovenstående
bevis. Man skal blot se på billedet af √ 2 og udnytte at der ifølge Sætning 79
ikke findes et element i Q, hvis kvadrat er 2.
Der findes også legemer med endeligt mange elementer.