Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

94 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTIONER
Bemærkning 261 I dansksproget litteratur hersker der en vis forvirring om
betydningen af ordene billedmængde og værdimængde. I nogle fremstillinger
(f.eks. tidligere noter til MatM) er det mængden B, som betegnes billedmængden
eller værdimængden.
Bemærkning 262 Når man skal definere en afbildning, skal man altså angive
tre ting:
1. Definitionsmængden A.
2. Sekundærmængden B.
3. Funktionsværdien f(x) for ethvert x ∈ A.
Bemærkning 263 To afbildninger f og g er lig med hinanden hvis
1. de har samme definitionsmængde,
2. de har samme sekundærmængde,
3. og for alle x i definitionsmængden gælder f(x) = g(x)
Ofte sjusker man når man angiver funktioner. Det er således meget almindeligt
at tale om funktionen x 2 . Dette er upræcist, fordi man ikke har angivet
definitionsmængden og sekundærmængden. Det vil dog ofte være klart fra sammenhængen,
hvad disse mængder er (f.eks. R eller C). Når man i reel analyse
taler om funktionen 1/x eller andre funktioner, som ikke naturligt er defineret
på hele R, så underforstås det ofte, at man som definitionsmængde skal tage
den største mængde, hvor funktionen er defineret, altså i dette tilfælde R \ {0}.
Angivelsen af en funktion ved udtrykkene x 2 og 1/x illustrerer også en anden
unøjagtighed, som man ofte tillader sig ved omtalen af funktioner. I den
generelle definition skelner vi mellem funktionen f og dens værdi f(x) i et givet
element x ∈ A. Men ofte omtaler man funktionen som f(x) i stedet for som
f. Det er for eksempel tilfældet med funktionerne x 2 og 1/x, som jo vanskeligt
lader sig angive uden at skrive x’et. Hvis man vil angive disse funktioner med
en notation, der tydeliggør, at der er tale om funktionen, og ikke dens værdi i
punktet x, kan man skrive: ”funktionen x −→ x 2 ”, men det gøres sjældent.
8.1 Injektivitet og surjektivitet
Definition 264 1. En afbildning f : A −→ B kaldes surjektiv (udtales
”syrjektiv”), hvis værdimængden er hele B, altså hvis ethvert y i B er en
funktionsværdi, eller udtrykt formelt:
Man siger da at f afbilder A på B.
∀y ∈ B∃x ∈ A : y = f(x) (8.1)