Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

Kapitel 14
Ringe og legemer
14.1 Ringe
I forrige kapitel studerede vi en matematisk struktur, kaldet en gruppe, hvori
der er givet én kompositionsregel, som opfylder visse aksiomer. Ofte møder man
dog mængder, hvorpå der er givet to kompositionsregler, som spiller sammen
på særlig vis. Talmængderne Z, Q, R og C har både en addition og en multiplikation,
og det samme gælder Z/n. Og i alle disse mængder spiller additionen
og multiplikationen sammen via den distributive lov. For at kunne studere alle
disse talmængder og andre lignende mængder med to sammenknyttede kompositionsregler
under ét, definerer vi en ny struktur, nemlig en ring:
Definition 632 En mængde R udstyret med to kompositionsregler + og · kaldes
en ring og betegnes med (R, +, ·), hvis følgende aksiomer er opfyldt:
R1: + er kommutativ, dvs. for alle x, y ∈ R gælder:
x + y = y + x. (14.1)
R2: + og · er associative, dvs. for alle x, y, z ∈ R gælder:
x + (y + z) = (x + y) + z og x (yz) = (xy) z. (14.2)
R3: Der eksisterer et additivt og et multiplikativt neutralellement kaldet hhv.
0 og 1, dvs for alle x ∈ R gælder at:
x + 0 = x og 1 · x = x · 1 = x. (14.3)
R4: Der eksisterer additive inverser, eller mere præcist: For ethvert x ∈ R
findes et element, vi vil kalde −x, hvorom det gælder at
x + (−x) = 0. (14.4)
R5: De distributive love: For alle x, y, z ∈ R gælder:
x · (y + z) = (x · y) + (x · z) og (y + z) · x = (y · x) + (z · x) (14.5)
203