Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

166 KAPITEL 11. GRAFER
Eksempel 491 De tælletræer, vi tegnede i kapitel 1, er træer med rod.
Et stamtræ, der illustrerer en stamfaders eller stammoders slægt, er et træ
med stamfaderen eller stammoderen som rod, hvis der da ikke er sket indgiftning
i slægten.
Sætning 492 En orienteret graf G er et træ med rod, hvis og kun hvis der
findes en knude v 0 i G, hvorfra der er en entydig orienteret vej til enhver anden
knude i grafen, men ingen ikke-triviel vej fra v 0 til v 0 .
Bevis. Lad G være en orienteret graf.
1. Antag, at G er et træ med roden v 0 . Da G er sammenhængende findes
der en vej fra v o til enhver anden knude i G og vi har konstrueret orienteringen
så at alle kanterne i vejen er orienteret fra v 0 til den anden knude. Der er ingen
ikke-triviel vej fra v 0 til v 0 fordi G er kredsløs.
2. Antag omvendt, at der findes en knude v 0 i G, hvorfra der er en entydig
orienteret vej til enhver anden knude i grafen, men ingen ikke-triviel vej fra v 0
til v 0 . Da er grafen sammenhængende. Vi skal altså blot vise at grafen, vi får
ved at se bort fra orienteringen i G, er kredsløs. Det gøres ved kontraposition.
Antag, et der findes en ikke-orienteret ikke-triviel kreds v 0v ′ 1...v ′ 0 ′ i G. Lad
T være den entydigt bestemte orienterede vej v 0 v 1 ...v n v 0 ′ fra v 0 til v 0. ′ Kredsen
kan ikke være en løkke eller et modsat orienteret kantpar, thi det ville føre til at
der ville være mere end en vej fra v 0 til v 0. ′ Kredsen indeholder derfor mindst
to kanter fra v 0 til to forskellige knuder. Det er derfor muligt at vælge en kant
i kredsen, (antag det er v 0v ′ 1) ′ som ikke ender i v n . Der er nu to muligheder:
Denne kant v 0v ′ 1 ′ er rettet fra v 1 ′ mod v 0 ′ eller den er rettet fra v 0 ′ mod v 1.
′
a. Hvis v 0v ′ 1 ′ er rettet fra v 1 ′ mod v 0 ′ er der to forskellige orienterede veje
fra v 0 til v 0 ′ nemlig T og vejen fra v 0 til v 1 ′ efterfulgt af v 1v ′ 0. ′ Disse to veje er
forskellige da v 1 ′ ≠ v n .
b. Hvis v 0v ′ 1 ′ er rettet v 0 ′ mod v 1, ′ gås ud ad denne kant og videre rundt i
kredsen, så langt man kan komme med orienteringen. Derved fremkommer en
ikke tom orienteret vej T ′ = v 0v ′ 1v ′ 1v ′ 2...v ′ k−1 ′ v′ k
som er orienteret i den angivne
retning, og således at v
k ′ v′ k+1 er orienteret modsat og så v′ 1 ≠ v n .
Ingen af knuderne v i ′ (i = 1, 2, ..., k) kan være lig en af knuderne v 0, v 1 , ..., v n
på vejen fra v 0 til v 0. ′ Antag nemlig at i er det mindste tal så v i ′ er lig en af
knuderne v 0 , v 1 , ..., v n . Hvis v i ′ = v 0 ville der være en orienteret ikke-triviel vej
v 0 v 1 ...v n v 0v ′ 1v ′ 1v ′ 2...v ′ i−1 ′ v′ i fra v 0 til v 0 i modstrid med forudsætningerne, og hvis
v i ′ = v j (1 ≤ j ≤ n) ville der være to forskellige veje fra v 0 til v j nemlig v 0 v 1 ...v j
og v 0 v 1 ...v n v 0v ′ 1v ′ 1v ′ 2...v ′ i−1 ′ v′ i i modsætning til forudsætningerne.
Altså er v 0 v 1 ...v n v 0v ′ 1v ′ 1v ′ 2...v ′ k−1 ′ v′ k en orienteret vej fra v 0 til v
k ′ ′′
. Men hvis T
er den orienterede vej fra v 0 til v k+1 , så vil T ′′ efterfulgt af v k+1 v k også være en
orienteret vej fra v 0 til v k . Og den er forskellig fra v 0 v 1 ...v n v 0v ′ 1v ′ 1v ′ 2...v ′ k−1 ′ v′ k thi
v k+1 ≠ v k−1 (overvej). Men det er i modstrid med den forudsatte entydighed.
Bemærkning 493 Den foregående sætning gør det muligt at definere et træ
med rod som en orienteret graf G, hvori der findes en knude v 0 , hvorfra der er