Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

10.2. CYKLER 139
mængde. Det er umuligt, da σ er injektiv. Som ovenfor danner de successive
billeder derfor en cykel γ 2 = ( )
a ′ 1 a ′ 2 ... a ′ p , som er disjunkt fra den forrige
′
cykel.
3. Ved at fortsætte på denne måde findes disjunkte cykler γ i . Processen må
slutte efter et endeligt antal trin, da der kun er endeligt mange elementer i A.
Produktet af de fundne cykler er da lig med σ. Hvis σ har fixpunkter, er nogle
af de fundne cykler 1-cykler. Disse kan udelades fra produktet, hvorved opnås
at alle cykler har længde større end 1.
Øvelse 408 Prøv ovenstående algoritme på σ defineret i (10.7)og τ defineret i
(10.12).
I forbindelse med ovenstående algoritme er det nyttigt at indføre noget notation:
Definition 409 Lad σ være en permutation af en endelig mængde A, og lad
a ∈ A. Mængden af successive billeder af a under σ kaldes banen bestemt ved
a og betegnes B a :
B a = { a, σ(a), σ 2 (a), σ 3 (a), ... } . (10.39)
Bemærkning 410 Som vi argumenterede for i fremstillingen af algoritmen,
består banen bestemt ved a af en følge af p elementer: a = a 1 , a 2 , ..., a p så
a 2 = σ(a 1 ) (10.40)
a 3 = σ(a 2 ) (10.41)
. (10.42)
a p = σ(a p−1 ) (10.43)
a 1 = σ(a p ). (10.44)
Antallet af elementer i banen (altså p) kaldes banens længde.
Til en bane B svarer en cykel γ nemlig (a 1 a 2 ... a p ). Den er entydigt
bestemt ved at
Det er klart at
γ(a) = σ(a) hvis a ∈ B (10.45)
γ(b) = b hvis b /∈ B (10.46)
a ∈ B b ⇔ B a = B b . (10.47)
Fixpunkter bestemmer baner af længde 1 som også kaldes et-punkts-baner.
Sætning 411 Lad σ være en permutation af en endelig mængde A. Da udgør
banerne for σ en klassedeling af A. Med andre ord:
1. Banerne er ikke tomme.
2. Hvis to baner har et element tilfælles er de ens.