Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

8.3. SAMMENSÆTNING AF AFBILDNINGER, INVERS AFBILDNING103
Sætning 298 Lad A og B være mængder, og lad f : A → B være en afbildning.
Der gælder følgende:
1. f har en venstreinvers, hvis og kun hvis f er injektiv.
2. f har en højreinvers, hvis og kun hvis f er surjektiv.
3. f har en invers, hvis og kun hvis f er bijektiv.
Bevis. Bevis for 1 : Antag først, at f har en venstreinvers g. Da gælder pr.
definition g ◦ f = 1 A . Da 1 A er injektiv, følger det af sætning 290.2 at f er
injektiv.
Antag omvendt, at f er injektiv. Vi skal da vise, at der findes en venstreinvers
g til f. Vi skal med andre ord konstruere en afbildning g : B −→ A, så
g ◦ f = 1 A .
Vi bemærker, at hvis b ligger i f(A), findes netop ét a ∈ A så f(a) = b. For
da f er injektiv, findes der højst et sådant a, og da b ∈ f(A) findes der mindst
et sådant a. Vælger vi nu et eller andet element a 0 ∈ A, kan vi dermed definere
en afbildning g : B −→ A ved:
{ a, hvis b = f(a) for et a ∈ A
g (b) =
a 0 , hvis b /∈ f(A)
(8.32)
Vi får da for a ∈ A, at g(f(a)) = a, altså at g ◦ f = 1 A .
Bevis for 2 : Hvis f har en højreinvers g : B −→ A, så gælder at f ◦ g = 1 B ,
og da 1 B er surjektiv, følger det af 290, at f er surjektiv.
Antag omvendt at f er surjektiv. Vi skal da vise, at der findes en højreinvers
g til f. Vi skal med andre ord konstruere en afbildning g : B −→ A, så f◦g = 1 B .
Når f er surjektiv betyder det at f −1 ({b}) ≠ ∅ for ethvert b ∈ B. Vælg da
for b ∈ B et element a b ∈ f −1 ({b}). 1 Ifølge sætning 281 gælder da, at f(a b ) = b
for ethvert b ∈ B. Defineres derfor en afbildning g : B −→ A ved:
g(b) = a b , (8.33)
fås at
(f ◦ g)(b) = f(g(b)) = f(a b ) = b for ethvert b ∈ B, (8.34)
dvs. at f ◦ g = 1 B .
Bevis for 3 : Hvis f har en invers, er denne både en højre- og venstreinvers,
så af 1. og 2. fås, at f er både surjektiv og injektiv, altså bijektiv.
Omvendt hvis f er bijektiv er den både surjektiv og injektiv og har derfor
både en venstreinvers g og en højreinvers h som opfylder
g ◦ f = 1 A og f ◦ h = 1 B (8.35)
1 Her bruger vi et omdiskuteret aksiom i mængdelæren, det såkaldte udvalgsaksiom.