Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

134 KAPITEL 10. PERMUTATIONER
Permutationer kommuterer normalt ikke. For eksempel hvis σ og τ er
de to permutationer defineret i (10.7) og (10.12), så er
σ · τ
( )
4 7 8 1 3 2 6 5
=
6 4 1 5 3 7 2 8
(
1 2 3 4 5 6 7 8
=
6 8 1 4 2 3 5 7
)
,
( 1 2 3 4 5 6 7 8
·
4 5 8 7 6 3 1 2
som er forskellig fra τ · σ, som vi udregnede i eksempel 389.
Definition 391 Et element a i en endelig mængde A kaldes et fixpunkt for en
permutation σ af A hvis σ(a) = a.
Hvis σ(a) ≠ a siges σ at flytte a.
Eksempel 392 Permutationen σ defineret i (10.7) har fixpunktet 3 og flytter
alle andre elementer i X.
Definition 393 To permutationer σ og τ på samme mængde kaldes disjunkte,
hvis mængden af elementer, der flyttes af σ, er disjunkt fra mængden af elementer,
der flyttes af τ.
Eksempel 394 For eksempel er permutationen
( )
1 2 3 4 5
, (10.16)
1 2 4 3 5
som kun flytter 3 og 4, disjunkt fra permutationen
( )
1 2 3 4 5
, (10.17)
2 1 3 4 5
som flytter 1 og 2, men ikke disjunkt fra
( 1 2 3 4 5
3 4 2 1 5
som flytter 1, 2, 3 og 4.
)
)
, (10.18)
Lemma 395 Lad σ være en permutation af mængden A. Hvis a flyttes af σ,
så flyttes σ(a) også af σ.
Bevis. Da σ er bijektiv og dermed injektiv, fås
Heraf følger det ønskede.
a ≠ σ(a) ⇒ σ(a) ≠ σ(σ(a)). (10.19)
Sætning 396 Disjunkte permutationer af samme mængde kommuterer.