Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

16.2. FULDSTÆNDIGT ORDNEDE LEGEMER. DE REELLE TAL 231
Definition 734 De reelle tal R er det op til isomorfi entydigt bestemte fuldstændigt
ordnede legeme.
Nu har vi endeligt defineret de reelle tal. Vores definition var nok ledet af
vores intuitive forståelse af de reelle tal, som vi havde fået i skolen, men nu
hvor vi har defineret de reelle tal aksiomatisk, kan vi (i princippet) glemme alle
vore mere eller mindre tågede forestillinger om dem. Disse forestillinger kan nu
erstattes med eksakte sætninger udledt fra aksiomssystemet for et fuldstændigt
ordnet legeme. For at gennemføre dette program skulle vi så nu i gang med at
bevise alle de kendte sætninger om reelle tal ud fra aksiomerne. Vi skal dog
ikke gennemføre denne øvelse i detaljer, men indskrænke os til at bevise nogle
få centrale sætninger.
Korollar 735 Enhver ikke tom nedadtil begrænset delmængde af R har et infimum.
Bevis. Følger af Sætning 556.
Sætning 736 Lad A være en ikke-tom opadtil begrænset delmængde af R. Lad
a være en majorant for A. Da er følgende betingelser ækvivalente:
1. a = sup A.
2. ∀ɛ ∈ R + ∃x ∈ A : |x − a| < ɛ.
3. ∀ɛ ∈ R + ∃x ∈ A : x ∈]a − ɛ, a + ɛ[
Bevis. At betingelserne er ækvivalente betyder, at hver af dem medfører enhver
af de andre. Man kan vise dette ved (eksempelvis) at vise implikationerne:
(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1).
Bevis for (1) ⇒ (2): Antag at a = sup A, og lad ɛ ∈ R + være vilkårlig. Da
er a − ɛ < a, thi a − (a − ɛ) = ɛ ∈ R + . Da a = sup A, er a − ɛ altså ikke en
majorant for A. Men det betyder at der findes et x ∈ A, hvorom det gælder, at
a − ɛ < x. Ved brug af sætning 711 fås heraf, at a − x < ɛ. Da endvidere a er
en majorant for A, er x ≤ a, så a − x ≥ 0. Altså er |x − a| = a − x < ɛ.
Bevis for (2) ⇒ (3): Det følger af sætning 714.
Bevis for (3) ⇒ (1). På grund af sætningens forudsætninger ved vi at a
er en majorant for A. Vi skal vise at det er den mindste majorant. Vi fører
beviset ved modstrid. Antag derfor, at A har en majorant b, som er mindre
end a: b < a. Da er ɛ = a − b ∈ R + . Ifølge (3) findes der da et x ∈ A, så
x ∈]a − (a − b) , a + (a − b) [=]b, a + (a − b) [. Altså er x > b, i modstrid med at
b er en majorant.
Vi antager at vi har indlejret N, Z og Q i de relle tal, som beskrevet ovenfor.
Sætning 737 (Den arkimediske egenskab) 3 . For ethvert reelt tal x findes
der et naturligt tal n, så x < n.
3 Efter den græske matematiker Arkimedes (287-212 f.Kr.).