Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

8.4. OPGAVER 105
Sætning 305 Lad f : A −→ B være en funktion, og kald dens tilhørende relation
R f . Da er R −1
f
en funktion på f(A), hvis og kun hvis f er injektiv. Hvis
f er injektiv, er funktionen R −1
f
en invers til funktionen f : A −→ f(A).
Bevis. Antag at f : A −→ B er en funktion. At R −1
f
funktion betyder ifølge definition 253 at
: f(A) −→ A er en
1. For alle y ∈ f(A) findes et x ∈ A, så at yR −1
f x.
2. Hvis yR −1
f
x 1 og yR −1
f x 2, da gælder at x 1 = x 2 .
Men yR −1
f
x betyder pr definition af R−1 , at xR f y, eller ifølge definitionen
af R f , at xfy eller y = f(x).
Altså kan de to betingelser omskrives til
1. For alle y ∈ f(A) findes et x ∈ A, så at y = f(x).
2. Hvis f(x 1 ) = f(x 2 ) = y så er x 1 = x 2 .
Det første betingelse er simpelthen definitionen af f(A), og det andet punkt
er ensbetydende med at f er injektiv.
Antag nu, at f er injektiv, så R −1
f
: f(A) −→ A er en funktion. Vi skal
da bevise, at R −1
f
er den inverse funktion til den bijektive afbildning f : A −→
f(A). Ifølge bemærkning 300 skal vi bare vise at
Men det følger af definitionen på R −1
f
x = R −1
f
(y) ⇔ f(x) = y. (8.41)
thi
x = R −1
f
(y) ⇔ yR−1
f x ⇔ xR f y ⇔ xfy ⇔ f(x) = y. (8.42)
Sætning 306 Lad f : A −→ B være en funktion og kald dens tilhørende relation
R f . Da er R −1
f
en funktion på B hvis og kun hvis f er bijektiv. Hvis f er
bijektiv er funktionen R −1
f
den inverse til funktionen f : A −→ B.
Bevis. Følger af den forregående sætning.
8.4 Opgaver
1. Betragt mængderne
og
A = {1, 2, 3, 4, 5} (8.43)
B = {a, b, c, d} (8.44)