Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

172 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Bemærkning 500 I det første af disse eksempler kan to vilkårlige elementer
a og b sammenlignes, i den forstand at enten er a ≤ b eller b ≤ a. Noget
tilsvarende gælder ikke i almindelighed i de sidste tre eksempler. Vi siger, at
den første ordningsrelation er en total ordning.
Definition 501 En ordningsrelation ≤ på en mængde M kaldes en total ordningsrelation
(eller en total ordning), hvis der for alle a, b ∈ M gælder enten
a ≤ b eller b ≤ a. I så fald kaldes (M, ≤) en totalt ordnet mængde.
Bemærkning 502 Man bruger også betegnelsen lineær ordningsrelation om en
total ordningsrelation. Det antyder ideen om, at man kan tænke sig en totalt
ordnet mængde (M, ≤) anbragt langs en ret linje, således at a ≤ b, hvis a ligger
til venstre for b eller under b hvis linjen er lodret. Hvis en partielt ordnet mængde
ikke er totalt ordnet, kan den ikke tænkes anbragt således.
Eksempel 503 De reelle tal med den sædvanlige ordning er en totalt ordnet
mængde.
Bemærkning 504 Hvis A er en delmængde af en partielt ordnet mængde (M, ≤),
vil relationen ≤ anvendt på A også være en ordningsrelation. Derved bliver
(A, ≤) en ordnet mængde. Man siger at A arver ordensstrukturen fra (M, ≤).
Hvis (M, ≤) er en totalt ordnet mængde, bliver enhver delmængde, udstyret
med den nedarvede ordning, ligeledes totalt ordnet. For eksempel bliver alle
delmængder af R totalt ordnede mængder, når de udstyres med den sædvanlige
ordning. Talmængderne N, Z og Q er altså totalt ordnede mængder, når de
udstyres med den sædvanlige ordning.
Øvelse 505 1. Overvej om (P (M), ⊆) kan være totalt ordnet for passende
valg af M.
2. Angiv en uendelig delmængde af P (N), som er totalt ordnet ved relationen
⊆.
Definition 506 Lad (M, ≤) være en partielt ordnet mængde, og lad a, b ∈ M.
Vi siger da at
• a < b hvis a ≤ b og a ≠ b
• a ≥ b hvis b ≤ a
• a > b hvis b < a
Sætning 507 Lad (M, ≤) være en partielt ordnet mængde, og lad a, b ∈ M.
Da gælder:
1. a < b ∧ b ≤ c ⇒ a < c
2. a ≤ b ∧ b < c ⇒ a < c